Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1537 / 2505
↖ ↑ ↗
← S 37.230328°
W 44.912109°		 ← 7 781.35 m → S 37.230328°
W 44.824219°		 →
↑
7 777.78 m
↓
↑
7 777.78 m
↓
S 37.300276°
W 44.912109°		 ← 7 774.12 m →
60 493 526 m²		 S 37.300276°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3753662109375 y=0.6116943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3753662109375 × 212)
    floor (0.3753662109375 × 4096)
    floor (1537.5)     		tx = 1537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6116943359375 × 212)
    floor (0.6116943359375 × 4096)
    floor (2505.5)     		ty = 2505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1537 / 2505 ti = "12/1537/2505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1537/2505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1537 ÷ 212
    1537 ÷ 4096     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2505 ÷ 212
    2505 ÷ 4096     		y = 0.611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.22314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.701029220043701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.701029220043701))-π/2
    2×atan(0.496074471168021)-π/2
    2×0.460502257424226-π/2
    0.921004514848451-1.57079632675     		φ = -0.64979181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64979181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.230328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1537 KachelY 2505 -0.78386418 -0.64979181 -44.912109 -37.230328
    Oben rechts KachelX + 1 1538 KachelY 2505 -0.78233020 -0.64979181 -44.824219 -37.230328
    Unten links KachelX 1537 KachelY + 1 2506 -0.78386418 -0.65101262 -44.912109 -37.300276
    Unten rechts KachelX + 1 1538 KachelY + 1 2506 -0.78233020 -0.65101262 -44.824219 -37.300276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64979181--0.65101262) × R
    0.00122081000000007 × 6371000     		dl = 7777.78051000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64979181--0.65101262) × R
    0.00122081000000007 × 6371000     		dr = 7777.78051000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78233020) × cos(-0.64979181) × R
    0.00153398000000005 × 0.796209775053596 × 6371000     		do = 7781.34744646384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78233020) × cos(-0.65101262) × R
    0.00153398000000005 × 0.795470566643775 × 6371000     		du = 7774.12317259484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64979181)-sin(-0.65101262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796209775053596-0.795470566643775)×R²
    abs(-0.78233020--0.78386418)×0.000739208409820558×R²
    0.00153398000000005×0.000739208409820558×6371000²
    0.00153398000000005×0.000739208409820558×40589641000000     		ar = 60493525.6155811m²