Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15369 / 8660
↖ ↑ ↗
← N 64.377941°
W 11.151123°		 ← 528.28 m → N 64.377941°
W 11.140136°		 →
↑
528.35 m
↓
↑
528.35 m
↓
N 64.373190°
W 11.151123°		 ← 528.37 m →
279 138 m²		 N 64.373190°
W 11.140136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469039916992188 y=0.264297485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469039916992188 × 215)
    floor (0.469039916992188 × 32768)
    floor (15369.5)     		tx = 15369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264297485351562 × 215)
    floor (0.264297485351562 × 32768)
    floor (8660.5)     		ty = 8660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15369 / 8660 ti = "15/15369/8660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15369/8660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15369 ÷ 215
    15369 ÷ 32768     		x = 0.469024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8660 ÷ 215
    8660 ÷ 32768     		y = 0.2642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.06195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19462381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2642822265625 × 2 - 1) × π
    0.471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48105845066125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19462381} λ = -0.19462381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48105845066125))-π/2
    2×atan(4.39759785879563)-π/2
    2×1.34720168101493-π/2
    2.69440336202987-1.57079632675     		φ = 1.12360704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19462381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12360704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.377941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15369 KachelY 8660 -0.19462381 1.12360704 -11.151123 64.377941
    Oben rechts KachelX + 1 15370 KachelY 8660 -0.19443206 1.12360704 -11.140136 64.377941
    Unten links KachelX 15369 KachelY + 1 8661 -0.19462381 1.12352411 -11.151123 64.373190
    Unten rechts KachelX + 1 15370 KachelY + 1 8661 -0.19443206 1.12352411 -11.140136 64.373190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12360704-1.12352411) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dl = 528.347030000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12360704-1.12352411) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dr = 528.347030000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19462381--0.19443206) × cos(1.12360704) × R
    0.000191750000000018 × 0.432432920746171 × 6371000     		do = 528.277028975712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19462381--0.19443206) × cos(1.12352411) × R
    0.000191750000000018 × 0.43250769442936 × 6371000     		du = 528.368375441963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12360704)-sin(1.12352411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432432920746171-0.43250769442936)×R²
    abs(-0.19443206--0.19462381)×7.47736831889778e-05×R²
    0.000191750000000018×7.47736831889778e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.47736831889778e-05×40589641000000     		ar = 279137.730753884m²