Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15366 / 10233
↖ ↑ ↗
← N 55.819802°
W 11.184082°		 ← 686.31 m → N 55.819802°
W 11.173096°		 →
↑
686.41 m
↓
↑
686.41 m
↓
N 55.813629°
W 11.184082°		 ← 686.42 m →
471 131 m²		 N 55.813629°
W 11.173096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468948364257812 y=0.312301635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468948364257812 × 215)
    floor (0.468948364257812 × 32768)
    floor (15366.5)     		tx = 15366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312301635742188 × 215)
    floor (0.312301635742188 × 32768)
    floor (10233.5)     		ty = 10233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15366 / 10233 ti = "15/15366/10233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15366/10233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15366 ÷ 215
    15366 ÷ 32768     		x = 0.46893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10233 ÷ 215
    10233 ÷ 32768     		y = 0.312286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19519906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312286376953125 × 2 - 1) × π
    0.37542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17943947825186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19519906} λ = -0.19519906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17943947825186))-π/2
    2×atan(3.25255056651404)-π/2
    2×1.27251782671062-π/2
    2.54503565342125-1.57079632675     		φ = 0.97423933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19519906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97423933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.819802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15366 KachelY 10233 -0.19519906 0.97423933 -11.184082 55.819802
    Oben rechts KachelX + 1 15367 KachelY 10233 -0.19500731 0.97423933 -11.173096 55.819802
    Unten links KachelX 15366 KachelY + 1 10234 -0.19519906 0.97413159 -11.184082 55.813629
    Unten rechts KachelX + 1 15367 KachelY + 1 10234 -0.19500731 0.97413159 -11.173096 55.813629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97423933-0.97413159) × R
    0.000107739999999912 × 6371000     		dl = 686.411539999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97423933-0.97413159) × R
    0.000107739999999912 × 6371000     		dr = 686.411539999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19519906--0.19500731) × cos(0.97423933) × R
    0.000191750000000018 × 0.561797499132698 × 6371000     		do = 686.31387549241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19519906--0.19500731) × cos(0.97413159) × R
    0.000191750000000018 × 0.561886626457219 × 6371000     		du = 686.422756930293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97423933)-sin(0.97413159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561797499132698-0.561886626457219)×R²
    abs(-0.19500731--0.19519906)×8.91273245212654e-05×R²
    0.000191750000000018×8.91273245212654e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.91273245212654e-05×40589641000000     		ar = 471131.13339254m²