Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15366 / 10166
↖ ↑ ↗
← N 56.231139°
W 11.184082°		 ← 679.04 m → N 56.231139°
W 11.173096°		 →
↑
679.08 m
↓
↑
679.08 m
↓
N 56.225031°
W 11.184082°		 ← 679.15 m →
461 163 m²		 N 56.225031°
W 11.173096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468948364257812 y=0.310256958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468948364257812 × 215)
    floor (0.468948364257812 × 32768)
    floor (15366.5)     		tx = 15366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310256958007812 × 215)
    floor (0.310256958007812 × 32768)
    floor (10166.5)     		ty = 10166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15366 / 10166 ti = "15/15366/10166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15366/10166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15366 ÷ 215
    15366 ÷ 32768     		x = 0.46893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10166 ÷ 215
    10166 ÷ 32768     		y = 0.31024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19519906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31024169921875 × 2 - 1) × π
    0.3795166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19228656735004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19519906} λ = -0.19519906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19228656735004))-π/2
    2×atan(3.29460593957379)-π/2
    2×1.27610741790273-π/2
    2.55221483580546-1.57079632675     		φ = 0.98141851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19519906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98141851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.231139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15366 KachelY 10166 -0.19519906 0.98141851 -11.184082 56.231139
    Oben rechts KachelX + 1 15367 KachelY 10166 -0.19500731 0.98141851 -11.173096 56.231139
    Unten links KachelX 15366 KachelY + 1 10167 -0.19519906 0.98131192 -11.184082 56.225031
    Unten rechts KachelX + 1 15367 KachelY + 1 10167 -0.19500731 0.98131192 -11.173096 56.225031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98141851-0.98131192) × R
    0.000106590000000018 × 6371000     		dl = 679.084890000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98141851-0.98131192) × R
    0.000106590000000018 × 6371000     		dr = 679.084890000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19519906--0.19500731) × cos(0.98141851) × R
    0.000191750000000018 × 0.555843917924172 × 6371000     		do = 679.040747010012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19519906--0.19500731) × cos(0.98131192) × R
    0.000191750000000018 × 0.555932521613287 × 6371000     		du = 679.148988754329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98141851)-sin(0.98131192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555843917924172-0.555932521613287)×R²
    abs(-0.19500731--0.19519906)×8.86036891144526e-05×R²
    0.000191750000000018×8.86036891144526e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.86036891144526e-05×40589641000000     		ar = 461163.064092003m²