Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15362 / 10164
↖ ↑ ↗
← N 56.243350°
W 11.228028°		 ← 678.82 m → N 56.243350°
W 11.217041°		 →
↑
678.89 m
↓
↑
678.89 m
↓
N 56.237245°
W 11.228028°		 ← 678.93 m →
460 886 m²		 N 56.237245°
W 11.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468826293945312 y=0.310195922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468826293945312 × 215)
    floor (0.468826293945312 × 32768)
    floor (15362.5)     		tx = 15362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310195922851562 × 215)
    floor (0.310195922851562 × 32768)
    floor (10164.5)     		ty = 10164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15362 / 10164 ti = "15/15362/10164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15362/10164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15362 ÷ 215
    15362 ÷ 32768     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10164 ÷ 215
    10164 ÷ 32768     		y = 0.3101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3101806640625 × 2 - 1) × π
    0.379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.192670062547))-π/2
    2×atan(3.29586964742495)-π/2
    2×1.27621398265145-π/2
    2.55242796530289-1.57079632675     		φ = 0.98163164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98163164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.243350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15362 KachelY 10164 -0.19596605 0.98163164 -11.228028 56.243350
    Oben rechts KachelX + 1 15363 KachelY 10164 -0.19577430 0.98163164 -11.217041 56.243350
    Unten links KachelX 15362 KachelY + 1 10165 -0.19596605 0.98152508 -11.228028 56.237245
    Unten rechts KachelX + 1 15363 KachelY + 1 10165 -0.19577430 0.98152508 -11.217041 56.237245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98163164-0.98152508) × R
    0.000106559999999978 × 6371000     		dl = 678.893759999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98163164-0.98152508) × R
    0.000106559999999978 × 6371000     		dr = 678.893759999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19577430) × cos(0.98163164) × R
    0.000191749999999991 × 0.555666733171665 × 6371000     		do = 678.824291161749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19577430) × cos(0.98152508) × R
    0.000191749999999991 × 0.555755324546795 × 6371000     		du = 678.93251786282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98163164)-sin(0.98152508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555666733171665-0.555755324546795)×R²
    abs(-0.19577430--0.19596605)×8.85913751303979e-05×R²
    0.000191749999999991×8.85913751303979e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.85913751303979e-05×40589641000000     		ar = 460886.313058021m²