Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15361 / 15358
↖ ↑ ↗
← N 68.660553°
W 95.619507°		 ← 222.26 m → N 68.660553°
W 95.614014°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
N 68.658554°
W 95.619507°		 ← 222.28 m →
49 407 m²		 N 68.658554°
W 95.614014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234397888183594 y=0.234352111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234397888183594 × 216)
    floor (0.234397888183594 × 65536)
    floor (15361.5)     		tx = 15361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234352111816406 × 216)
    floor (0.234352111816406 × 65536)
    floor (15358.5)     		ty = 15358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15361 / 15358 ti = "16/15361/15358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15361/15358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15361 ÷ 216
    15361 ÷ 65536     		x = 0.234390258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15358 ÷ 216
    15358 ÷ 65536     		y = 0.234344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234390258789062 × 2 - 1) × π
    -0.531219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.66887522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234344482421875 × 2 - 1) × π
    0.53131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66916284477036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66887522} λ = -1.66887522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66916284477036))-π/2
    2×atan(5.30772254906997)-π/2
    2×1.38457452305002-π/2
    2.76914904610005-1.57079632675     		φ = 1.19835272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66887522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19835272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.660553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15361 KachelY 15358 -1.66887522 1.19835272 -95.619507 68.660553
    Oben rechts KachelX + 1 15362 KachelY 15358 -1.66877935 1.19835272 -95.614014 68.660553
    Unten links KachelX 15361 KachelY + 1 15359 -1.66887522 1.19831783 -95.619507 68.658554
    Unten rechts KachelX + 1 15362 KachelY + 1 15359 -1.66877935 1.19831783 -95.614014 68.658554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19835272-1.19831783) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19835272-1.19831783) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66887522--1.66877935) × cos(1.19835272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363892591493384 × 6371000     		do = 222.26114447776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66887522--1.66877935) × cos(1.19831783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363925089245486 × 6371000     		du = 222.280993707297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19835272)-sin(1.19831783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363892591493384-0.363925089245486)×R²
    abs(-1.66877935--1.66887522)×3.2497752102012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2497752102012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2497752102012e-05×40589641000000     		ar = 49407.3445588559m²