Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1536 / 1577
↖ ↑ ↗
← S 69.224997°
E 90.000000°		 ← 6 932.94 m → S 69.224997°
E 90.175781°		 →
↑
6 922.98 m
↓
↑
6 922.98 m
↓
S 69.287257°
E 90.000000°		 ← 6 913.08 m →
47 927 871 m²		 S 69.287257°
E 90.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750244140625 y=0.770263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750244140625 × 211)
    floor (0.750244140625 × 2048)
    floor (1536.5)     		tx = 1536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770263671875 × 211)
    floor (0.770263671875 × 2048)
    floor (1577.5)     		ty = 1577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1536 / 1577 ti = "11/1536/1577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1536/1577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1536 ÷ 211
    1536 ÷ 2048     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1577 ÷ 211
    1577 ÷ 2048     		y = 0.77001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69658275135303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69658275135303))-π/2
    2×atan(0.183308866945664)-π/2
    2×0.181296103512529-π/2
    0.362592207025057-1.57079632675     		φ = -1.20820412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20820412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.224997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1536 KachelY 1577 1.57079633 -1.20820412 90.000000 -69.224997
    Oben rechts KachelX + 1 1537 KachelY 1577 1.57386429 -1.20820412 90.175781 -69.224997
    Unten links KachelX 1536 KachelY + 1 1578 1.57079633 -1.20929076 90.000000 -69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 1537 KachelY + 1 1578 1.57386429 -1.20929076 90.175781 -69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20820412--1.20929076) × R
    0.00108664000000003 × 6371000     		dl = 6922.98344000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20820412--1.20929076) × R
    0.00108664000000003 × 6371000     		dr = 6922.98344000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.57386429) × cos(-1.20820412) × R
    0.00306795999999987 × 0.354699085104731 × 6371000     		do = 6932.93879733333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.57386429) × cos(-1.20929076) × R
    0.00306795999999987 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 6913.0762490653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20820412)-sin(-1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354699085104731-0.353682888668491)×R²
    abs(1.57386429-1.57079633)×0.00101619643623974×R²
    0.00306795999999987×0.00101619643623974×6371000²
    0.00306795999999987×0.00101619643623974×40589641000000     		ar = 47927871.1541544m²