Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15354 / 10130
↖ ↑ ↗
← N 56.450349°
W 11.315918°		 ← 675.15 m → N 56.450349°
W 11.304932°		 →
↑
675.20 m
↓
↑
675.20 m
↓
N 56.444277°
W 11.315918°		 ← 675.26 m →
455 897 m²		 N 56.444277°
W 11.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468582153320312 y=0.309158325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468582153320312 × 215)
    floor (0.468582153320312 × 32768)
    floor (15354.5)     		tx = 15354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309158325195312 × 215)
    floor (0.309158325195312 × 32768)
    floor (10130.5)     		ty = 10130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15354 / 10130 ti = "15/15354/10130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15354/10130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15354 ÷ 215
    15354 ÷ 32768     		x = 0.46856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10130 ÷ 215
    10130 ÷ 32768     		y = 0.30914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.0628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19750003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30914306640625 × 2 - 1) × π
    0.3817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19918948089532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19750003} λ = -0.19750003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19918948089532))-π/2
    2×atan(3.31742699480716)-π/2
    2×1.27802039061858-π/2
    2.55604078123717-1.57079632675     		φ = 0.98524445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19750003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98524445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.450349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15354 KachelY 10130 -0.19750003 0.98524445 -11.315918 56.450349
    Oben rechts KachelX + 1 15355 KachelY 10130 -0.19730828 0.98524445 -11.304932 56.450349
    Unten links KachelX 15354 KachelY + 1 10131 -0.19750003 0.98513847 -11.315918 56.444277
    Unten rechts KachelX + 1 15355 KachelY + 1 10131 -0.19730828 0.98513847 -11.304932 56.444277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98524445-0.98513847) × R
    0.000105980000000061 × 6371000     		dl = 675.198580000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98524445-0.98513847) × R
    0.000105980000000061 × 6371000     		dr = 675.198580000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19750003--0.19730828) × cos(0.98524445) × R
    0.000191749999999991 × 0.55265940456957 × 6371000     		do = 675.150420503783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19750003--0.19730828) × cos(0.98513847) × R
    0.000191749999999991 × 0.552747725962161 × 6371000     		du = 675.258317383586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98524445)-sin(0.98513847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55265940456957-0.552747725962161)×R²
    abs(-0.19730828--0.19750003)×8.8321392590518e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8321392590518e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8321392590518e-05×40589641000000     		ar = 455897.031547738m²