Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15353 / 3510
↖ ↑ ↗
← N 71.145194°
E157.346192°		 ← 789.58 m → N 71.145194°
E157.368164°		 →
↑
789.69 m
↓
↑
789.69 m
↓
N 71.138093°
E157.346192°		 ← 789.86 m →
623 630 m²		 N 71.138093°
E157.368164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937103271484375 y=0.214263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937103271484375 × 214)
    floor (0.937103271484375 × 16384)
    floor (15353.5)     		tx = 15353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214263916015625 × 214)
    floor (0.214263916015625 × 16384)
    floor (3510.5)     		ty = 3510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15353 / 3510 ti = "14/15353/3510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15353/3510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15353 ÷ 214
    15353 ÷ 16384     		x = 0.93707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3510 ÷ 214
    3510 ÷ 16384     		y = 0.2142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93707275390625 × 2 - 1) × π
    0.8741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.74620911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2142333984375 × 2 - 1) × π
    0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74620911} λ = 2.74620911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79552451216882))-π/2
    2×atan(6.02263283771147)-π/2
    2×1.40625711078198-π/2
    2.81251422156396-1.57079632675     		φ = 1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74620911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15353 KachelY 3510 2.74620911 1.24171789 157.346192 71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 15354 KachelY 3510 2.74659260 1.24171789 157.368164 71.145194
    Unten links KachelX 15353 KachelY + 1 3511 2.74620911 1.24159394 157.346192 71.138093
    Unten rechts KachelX + 1 15354 KachelY + 1 3511 2.74659260 1.24159394 157.368164 71.138093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24171789-1.24159394) × R
    0.000123950000000095 × 6371000     		dl = 789.685450000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24171789-1.24159394) × R
    0.000123950000000095 × 6371000     		dr = 789.685450000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74620911-2.74659260) × cos(1.24171789) × R
    0.000383489999999931 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 789.576296639982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74620911-2.74659260) × cos(1.24159394) × R
    0.000383489999999931 × 0.323288349533144 × 6371000     		du = 789.862877013926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24171789)-sin(1.24159394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.323288349533144)×R²
    abs(2.74659260-2.74620911)×0.000117296430554026×R²
    0.000383489999999931×0.000117296430554026×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117296430554026×40589641000000     		ar = 623630.068096532m²