Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15350 / 10226
↖ ↑ ↗
← N 55.862982°
W 11.359863°		 ← 685.55 m → N 55.862982°
W 11.348877°		 →
↑
685.58 m
↓
↑
685.58 m
↓
N 55.856817°
W 11.359863°		 ← 685.66 m →
470 040 m²		 N 55.856817°
W 11.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468460083007812 y=0.312088012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468460083007812 × 215)
    floor (0.468460083007812 × 32768)
    floor (15350.5)     		tx = 15350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312088012695312 × 215)
    floor (0.312088012695312 × 32768)
    floor (10226.5)     		ty = 10226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15350 / 10226 ti = "15/15350/10226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15350/10226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15350 ÷ 215
    15350 ÷ 32768     		x = 0.46844482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10226 ÷ 215
    10226 ÷ 32768     		y = 0.31207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0631103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19826702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31207275390625 × 2 - 1) × π
    0.3758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18078171144122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19826702} λ = -0.19826702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18078171144122))-π/2
    2×atan(3.25691917902698)-π/2
    2×1.27289464905165-π/2
    2.5457892981033-1.57079632675     		φ = 0.97499297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19826702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97499297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.862982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15350 KachelY 10226 -0.19826702 0.97499297 -11.359863 55.862982
    Oben rechts KachelX + 1 15351 KachelY 10226 -0.19807527 0.97499297 -11.348877 55.862982
    Unten links KachelX 15350 KachelY + 1 10227 -0.19826702 0.97488536 -11.359863 55.856817
    Unten rechts KachelX + 1 15351 KachelY + 1 10227 -0.19807527 0.97488536 -11.348877 55.856817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97499297-0.97488536) × R
    0.000107609999999925 × 6371000     		dl = 685.58330999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97499297-0.97488536) × R
    0.000107609999999925 × 6371000     		dr = 685.58330999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19826702--0.19807527) × cos(0.97499297) × R
    0.000191749999999991 × 0.561173872279749 × 6371000     		do = 685.552028451394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19826702--0.19807527) × cos(0.97488536) × R
    0.000191749999999991 × 0.561262937606065 × 6371000     		du = 685.660834149837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97499297)-sin(0.97488536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561173872279749-0.561262937606065)×R²
    abs(-0.19807527--0.19826702)×8.90653263166952e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90653263166952e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90653263166952e-05×40589641000000     		ar = 470040.326981714m²