Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1535 / 1604
↖ ↑ ↗
← S 70.844672°
E 89.824219°		 ← 6 413.62 m → S 70.844672°
E 90.000000°		 →
↑
6 404.38 m
↓
↑
6 404.38 m
↓
S 70.902268°
E 89.824219°		 ← 6 395.06 m →
41 015 875 m²		 S 70.902268°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749755859375 y=0.783447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749755859375 × 211)
    floor (0.749755859375 × 2048)
    floor (1535.5)     		tx = 1535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783447265625 × 211)
    floor (0.783447265625 × 2048)
    floor (1604.5)     		ty = 1604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1535 / 1604 ti = "11/1535/1604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1535/1604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1535 ÷ 211
    1535 ÷ 2048     		x = 0.74951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1604 ÷ 211
    1604 ÷ 2048     		y = 0.783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783203125 × 2 - 1) × π
    -0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56772837} λ = 1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77941771389648))-π/2
    2×atan(0.168736371512804)-π/2
    2×0.167161765923175-π/2
    0.33432353184635-1.57079632675     		φ = -1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1535 KachelY 1604 1.56772837 -1.23647279 89.824219 -70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 1536 KachelY 1604 1.57079633 -1.23647279 90.000000 -70.844672
    Unten links KachelX 1535 KachelY + 1 1605 1.56772837 -1.23747803 89.824219 -70.902268
    Unten rechts KachelX + 1 1536 KachelY + 1 1605 1.57079633 -1.23747803 90.000000 -70.902268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23647279--1.23747803) × R
    0.0010052399999998 × 6371000     		dl = 6404.3840399987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23647279--1.23747803) × R
    0.0010052399999998 × 6371000     		dr = 6404.3840399987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56772837-1.57079633) × cos(-1.23647279) × R
    0.00306796000000009 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 6413.6247833945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56772837-1.57079633) × cos(-1.23747803) × R
    0.00306796000000009 × 0.32718048787772 × 6371000     		du = 6395.0610345338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23647279)-sin(-1.23747803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.32718048787772)×R²
    abs(1.57079633-1.56772837)×0.0009497479971316×R²
    0.00306796000000009×0.0009497479971316×6371000²
    0.00306796000000009×0.0009497479971316×40589641000000     		ar = 41015874.9667535m²