Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15347 / 13359
N 72.317454°
W 95.696411°
← 185.54 m → N 72.317454°
W 95.690918°

185.59 m

185.59 m
N 72.315785°
W 95.696411°
← 185.56 m →
34 436 m²
N 72.315785°
W 95.690918°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234184265136719 y=0.203849792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234184265136719 × 216)
    floor (0.234184265136719 × 65536)
    floor (15347.5)
    tx = 15347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203849792480469 × 216)
    floor (0.203849792480469 × 65536)
    floor (13359.5)
    ty = 13359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15347 / 13359 ti = "16/15347/13359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15347/13359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15347 ÷ 216
    15347 ÷ 65536
    x = 0.234176635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13359 ÷ 216
    13359 ÷ 65536
    y = 0.203842163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.234176635742188 × 2 - 1) × π
    -0.531646728515625 × 3.1415926535
    Λ = -1.67021746
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.203842163085938 × 2 - 1) × π
    0.592315673828125 × 3.1415926535
    Φ = 1.86081456945134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67021746} λ = -1.67021746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86081456945134))-π/2
    2×atan(6.42897148289517)-π/2
    2×1.41648700191548-π/2
    2.83297400383097-1.57079632675
    φ = 1.26217768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67021746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.696411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26217768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.317454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15347 KachelY 13359 -1.67021746 1.26217768 -95.696411 72.317454
    Oben rechts KachelX + 1 15348 KachelY 13359 -1.67012158 1.26217768 -95.690918 72.317454
    Unten links KachelX 15347 KachelY + 1 13360 -1.67021746 1.26214855 -95.696411 72.315785
    Unten rechts KachelX + 1 15348 KachelY + 1 13360 -1.67012158 1.26214855 -95.690918 72.315785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.26217768-1.26214855) × R
    2.91299999999328e-05 × 6371000
    dl = 185.587229999572m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.26217768-1.26214855) × R
    2.91299999999328e-05 × 6371000
    dr = 185.587229999572m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67021746--1.67012158) × cos(1.26217768) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.303742836785976 × 6371000
    do = 185.54176138999m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67021746--1.67012158) × cos(1.26214855) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.303770590382719 × 6371000
    du = 185.558714715636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.26217768)-sin(1.26214855))×
    abs(λ12)×abs(0.303742836785976-0.303770590382719)×
    abs(-1.67012158--1.67021746)×2.77535967432851e-05×
    9.58799999999371e-05×2.77535967432851e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.77535967432851e-05×40589641000000
    ar = 34435.7547081732m²