Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15347 / 10228
↖ ↑ ↗
← N 55.850650°
W 11.392822°		 ← 685.77 m → N 55.850650°
W 11.381836°		 →
↑
685.84 m
↓
↑
685.84 m
↓
N 55.844482°
W 11.392822°		 ← 685.88 m →
470 364 m²		 N 55.844482°
W 11.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468368530273438 y=0.312149047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468368530273438 × 215)
    floor (0.468368530273438 × 32768)
    floor (15347.5)     		tx = 15347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312149047851562 × 215)
    floor (0.312149047851562 × 32768)
    floor (10228.5)     		ty = 10228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15347 / 10228 ti = "15/15347/10228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15347/10228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15347 ÷ 215
    15347 ÷ 32768     		x = 0.468353271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10228 ÷ 215
    10228 ÷ 32768     		y = 0.3121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.06329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19884226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3121337890625 × 2 - 1) × π
    0.375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18039821624426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19884226} λ = -0.19884226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18039821624426))-π/2
    2×atan(3.25567040562954)-π/2
    2×1.27278702823085-π/2
    2.5455740564617-1.57079632675     		φ = 0.97477773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19884226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.392822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97477773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.850650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15347 KachelY 10228 -0.19884226 0.97477773 -11.392822 55.850650
    Oben rechts KachelX + 1 15348 KachelY 10228 -0.19865051 0.97477773 -11.381836 55.850650
    Unten links KachelX 15347 KachelY + 1 10229 -0.19884226 0.97467008 -11.392822 55.844482
    Unten rechts KachelX + 1 15348 KachelY + 1 10229 -0.19865051 0.97467008 -11.381836 55.844482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97477773-0.97467008) × R
    0.000107650000000015 × 6371000     		dl = 685.838150000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97477773-0.97467008) × R
    0.000107650000000015 × 6371000     		dr = 685.838150000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19884226--0.19865051) × cos(0.97477773) × R
    0.000191749999999991 × 0.56135201298455 × 6371000     		do = 685.769652128402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19884226--0.19865051) × cos(0.97467008) × R
    0.000191749999999991 × 0.561441098410544 × 6371000     		du = 685.8784823814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97477773)-sin(0.97467008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56135201298455-0.561441098410544)×R²
    abs(-0.19865051--0.19884226)×8.90854259949503e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90854259949503e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90854259949503e-05×40589641000000     		ar = 470364.309966329m²