Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15345 / 10227
↖ ↑ ↗
← N 55.856817°
W 11.414795°		 ← 685.63 m → N 55.856817°
W 11.403809°		 →
↑
685.71 m
↓
↑
685.71 m
↓
N 55.850650°
W 11.414795°		 ← 685.73 m →
470 178 m²		 N 55.850650°
W 11.403809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468307495117188 y=0.312118530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468307495117188 × 215)
    floor (0.468307495117188 × 32768)
    floor (15345.5)     		tx = 15345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312118530273438 × 215)
    floor (0.312118530273438 × 32768)
    floor (10227.5)     		ty = 10227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15345 / 10227 ti = "15/15345/10227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15345/10227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15345 ÷ 215
    15345 ÷ 32768     		x = 0.468292236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10227 ÷ 215
    10227 ÷ 32768     		y = 0.312103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.06341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19922575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312103271484375 × 2 - 1) × π
    0.37579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18058996384274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19922575} λ = -0.19922575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18058996384274))-π/2
    2×atan(3.25629473246593)-π/2
    2×1.27284084291104-π/2
    2.54568168582208-1.57079632675     		φ = 0.97488536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19922575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.414795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97488536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.856817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15345 KachelY 10227 -0.19922575 0.97488536 -11.414795 55.856817
    Oben rechts KachelX + 1 15346 KachelY 10227 -0.19903401 0.97488536 -11.403809 55.856817
    Unten links KachelX 15345 KachelY + 1 10228 -0.19922575 0.97477773 -11.414795 55.850650
    Unten rechts KachelX + 1 15346 KachelY + 1 10228 -0.19903401 0.97477773 -11.403809 55.850650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97488536-0.97477773) × R
    0.000107630000000025 × 6371000     		dl = 685.710730000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97488536-0.97477773) × R
    0.000107630000000025 × 6371000     		dr = 685.710730000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19922575--0.19903401) × cos(0.97488536) × R
    0.000191739999999996 × 0.561262937606065 × 6371000     		do = 685.6250760881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19922575--0.19903401) × cos(0.97477773) × R
    0.000191739999999996 × 0.56135201298455 × 6371000     		du = 685.733888391673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97488536)-sin(0.97477773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561262937606065-0.56135201298455)×R²
    abs(-0.19903401--0.19922575)×8.9075378484238e-05×R²
    0.000191739999999996×8.9075378484238e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.9075378484238e-05×40589641000000     		ar = 470177.778767001m²