Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15342 / 8556
↖ ↑ ↗
← N 64.867608°
W 11.447754°		 ← 518.84 m → N 64.867608°
W 11.436768°		 →
↑
518.85 m
↓
↑
518.85 m
↓
N 64.862941°
W 11.447754°		 ← 518.93 m →
269 228 m²		 N 64.862941°
W 11.436768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468215942382812 y=0.261123657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468215942382812 × 215)
    floor (0.468215942382812 × 32768)
    floor (15342.5)     		tx = 15342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261123657226562 × 215)
    floor (0.261123657226562 × 32768)
    floor (8556.5)     		ty = 8556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15342 / 8556 ti = "15/15342/8556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15342/8556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15342 ÷ 215
    15342 ÷ 32768     		x = 0.46820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8556 ÷ 215
    8556 ÷ 32768     		y = 0.2611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19980100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2611083984375 × 2 - 1) × π
    0.477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5010002009032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19980100} λ = -0.19980100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5010002009032))-π/2
    2×atan(4.48617390228667)-π/2
    2×1.351474830532-π/2
    2.702949661064-1.57079632675     		φ = 1.13215333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19980100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.447754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13215333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.867608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15342 KachelY 8556 -0.19980100 1.13215333 -11.447754 64.867608
    Oben rechts KachelX + 1 15343 KachelY 8556 -0.19960925 1.13215333 -11.436768 64.867608
    Unten links KachelX 15342 KachelY + 1 8557 -0.19980100 1.13207189 -11.447754 64.862941
    Unten rechts KachelX + 1 15343 KachelY + 1 8557 -0.19960925 1.13207189 -11.436768 64.862941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13215333-1.13207189) × R
    8.14399999999882e-05 × 6371000     		dl = 518.854239999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13215333-1.13207189) × R
    8.14399999999882e-05 × 6371000     		dr = 518.854239999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19980100--0.19960925) × cos(1.13215333) × R
    0.000191750000000018 × 0.424711322361303 × 6371000     		do = 518.84402131602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19980100--0.19960925) × cos(1.13207189) × R
    0.000191750000000018 × 0.424785050932793 × 6371000     		du = 518.934091032799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13215333)-sin(1.13207189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424711322361303-0.424785050932793)×R²
    abs(-0.19960925--0.19980100)×7.37285714906277e-05×R²
    0.000191750000000018×7.37285714906277e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.37285714906277e-05×40589641000000     		ar = 269227.787034395m²