Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15339 / 8559
↖ ↑ ↗
← N 64.853606°
W 11.480713°		 ← 519.11 m → N 64.853606°
W 11.469726°		 →
↑
519.17 m
↓
↑
519.17 m
↓
N 64.848937°
W 11.480713°		 ← 519.20 m →
269 533 m²		 N 64.848937°
W 11.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468124389648438 y=0.261215209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468124389648438 × 215)
    floor (0.468124389648438 × 32768)
    floor (15339.5)     		tx = 15339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261215209960938 × 215)
    floor (0.261215209960938 × 32768)
    floor (8559.5)     		ty = 8559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15339 / 8559 ti = "15/15339/8559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15339/8559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15339 ÷ 215
    15339 ÷ 32768     		x = 0.468109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8559 ÷ 215
    8559 ÷ 32768     		y = 0.261199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.06378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20037624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261199951171875 × 2 - 1) × π
    0.47760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50042495810776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20037624} λ = -0.20037624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50042495810776))-π/2
    2×atan(4.48359400517504)-π/2
    2×1.35135264265618-π/2
    2.70270528531237-1.57079632675     		φ = 1.13190896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20037624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13190896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.853606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15339 KachelY 8559 -0.20037624 1.13190896 -11.480713 64.853606
    Oben rechts KachelX + 1 15340 KachelY 8559 -0.20018449 1.13190896 -11.469726 64.853606
    Unten links KachelX 15339 KachelY + 1 8560 -0.20037624 1.13182747 -11.480713 64.848937
    Unten rechts KachelX + 1 15340 KachelY + 1 8560 -0.20018449 1.13182747 -11.469726 64.848937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13190896-1.13182747) × R
    8.14900000001284e-05 × 6371000     		dl = 519.172790000818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13190896-1.13182747) × R
    8.14900000001284e-05 × 6371000     		dr = 519.172790000818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20037624--0.20018449) × cos(1.13190896) × R
    0.000191750000000018 × 0.42493254488441 × 6371000     		do = 519.114275433232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20037624--0.20018449) × cos(1.13182747) × R
    0.000191750000000018 × 0.425006310260096 × 6371000     		du = 519.204390111461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13190896)-sin(1.13182747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42493254488441-0.425006310260096)×R²
    abs(-0.20018449--0.20037624)×7.37653756863188e-05×R²
    0.000191750000000018×7.37653756863188e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.37653756863188e-05×40589641000000     		ar = 269533.399400152m²