Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15338 / 8547
↖ ↑ ↗
← N 64.909569°
W 11.491699°		 ← 518.03 m → N 64.909569°
W 11.480713°		 →
↑
518.09 m
↓
↑
518.09 m
↓
N 64.904910°
W 11.491699°		 ← 518.12 m →
268 411 m²		 N 64.904910°
W 11.480713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468093872070312 y=0.260848999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468093872070312 × 215)
    floor (0.468093872070312 × 32768)
    floor (15338.5)     		tx = 15338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260848999023438 × 215)
    floor (0.260848999023438 × 32768)
    floor (8547.5)     		ty = 8547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15338 / 8547 ti = "15/15338/8547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15338/8547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15338 ÷ 215
    15338 ÷ 32768     		x = 0.46807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8547 ÷ 215
    8547 ÷ 32768     		y = 0.260833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46807861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20056799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260833740234375 × 2 - 1) × π
    0.47833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50272592928952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20056799} λ = -0.20056799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50272592928952))-π/2
    2×atan(4.49392250400376)-π/2
    2×1.35184101256135-π/2
    2.7036820251227-1.57079632675     		φ = 1.13288570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20056799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.491699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13288570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.909569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15338 KachelY 8547 -0.20056799 1.13288570 -11.491699 64.909569
    Oben rechts KachelX + 1 15339 KachelY 8547 -0.20037624 1.13288570 -11.480713 64.909569
    Unten links KachelX 15338 KachelY + 1 8548 -0.20056799 1.13280438 -11.491699 64.904910
    Unten rechts KachelX + 1 15339 KachelY + 1 8548 -0.20037624 1.13280438 -11.480713 64.904910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13288570-1.13280438) × R
    8.13200000000514e-05 × 6371000     		dl = 518.089720000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13288570-1.13280438) × R
    8.13200000000514e-05 × 6371000     		dr = 518.089720000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20056799--0.20037624) × cos(1.13288570) × R
    0.000191749999999991 × 0.424048172844133 × 6371000     		do = 518.033891837151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20056799--0.20037624) × cos(1.13280438) × R
    0.000191749999999991 × 0.424121818057005 × 6371000     		du = 518.123859719771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13288570)-sin(1.13280438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424048172844133-0.424121818057005)×R²
    abs(-0.20037624--0.20056799)×7.36452128722309e-05×R²
    0.000191749999999991×7.36452128722309e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.36452128722309e-05×40589641000000     		ar = 268411.339837655m²