Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15338 / 3513
↖ ↑ ↗
← N 71.123880°
E157.016602°		 ← 790.44 m → N 71.123880°
E157.038574°		 →
↑
790.58 m
↓
↑
790.58 m
↓
N 71.116771°
E157.016602°		 ← 790.72 m →
625 015 m²		 N 71.116771°
E157.038574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936187744140625 y=0.214447021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936187744140625 × 214)
    floor (0.936187744140625 × 16384)
    floor (15338.5)     		tx = 15338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214447021484375 × 214)
    floor (0.214447021484375 × 16384)
    floor (3513.5)     		ty = 3513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15338 / 3513 ti = "14/15338/3513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15338/3513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15338 ÷ 214
    15338 ÷ 16384     		x = 0.9361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3513 ÷ 214
    3513 ÷ 16384     		y = 0.21441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9361572265625 × 2 - 1) × π
    0.872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.74045668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21441650390625 × 2 - 1) × π
    0.5711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79437402657794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74045668} λ = 2.74045668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79437402657794))-π/2
    2×atan(6.0157078697143)-π/2
    2×1.40607110773172-π/2
    2.81214221546344-1.57079632675     		φ = 1.24134589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74045668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24134589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.123880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15338 KachelY 3513 2.74045668 1.24134589 157.016602 71.123880
    Oben rechts KachelX + 1 15339 KachelY 3513 2.74084017 1.24134589 157.038574 71.123880
    Unten links KachelX 15338 KachelY + 1 3514 2.74045668 1.24122180 157.016602 71.116771
    Unten rechts KachelX + 1 15339 KachelY + 1 3514 2.74084017 1.24122180 157.038574 71.116771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24134589-1.24122180) × R
    0.000124090000000132 × 6371000     		dl = 790.577390000842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24134589-1.24122180) × R
    0.000124090000000132 × 6371000     		dr = 790.577390000842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74045668-2.74084017) × cos(1.24134589) × R
    0.000383489999999931 × 0.323523069424875 × 6371000     		do = 790.43634812491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74045668-2.74084017) × cos(1.24122180) × R
    0.000383489999999931 × 0.323640483408607 × 6371000     		du = 790.723215706517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24134589)-sin(1.24122180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323523069424875-0.323640483408607)×R²
    abs(2.74084017-2.74045668)×0.000117413983732162×R²
    0.000383489999999931×0.000117413983732162×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117413983732162×40589641000000     		ar = 625014.501374902m²