Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15334 / 10144
↖ ↑ ↗
← N 56.365250°
W 11.535645°		 ← 676.66 m → N 56.365250°
W 11.524658°		 →
↑
676.73 m
↓
↑
676.73 m
↓
N 56.359164°
W 11.535645°		 ← 676.77 m →
457 952 m²		 N 56.359164°
W 11.524658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467971801757812 y=0.309585571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467971801757812 × 215)
    floor (0.467971801757812 × 32768)
    floor (15334.5)     		tx = 15334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309585571289062 × 215)
    floor (0.309585571289062 × 32768)
    floor (10144.5)     		ty = 10144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15334 / 10144 ti = "15/15334/10144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15334/10144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15334 ÷ 215
    15334 ÷ 32768     		x = 0.46795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10144 ÷ 215
    10144 ÷ 32768     		y = 0.3095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20133498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3095703125 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1965050145166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20133498} λ = -0.20133498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1965050145166))-π/2
    2×atan(3.30853341617301)-π/2
    2×1.27727776268714-π/2
    2.55455552537428-1.57079632675     		φ = 0.98375920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20133498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.535645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98375920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.365250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15334 KachelY 10144 -0.20133498 0.98375920 -11.535645 56.365250
    Oben rechts KachelX + 1 15335 KachelY 10144 -0.20114323 0.98375920 -11.524658 56.365250
    Unten links KachelX 15334 KachelY + 1 10145 -0.20133498 0.98365298 -11.535645 56.359164
    Unten rechts KachelX + 1 15335 KachelY + 1 10145 -0.20114323 0.98365298 -11.524658 56.359164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98375920-0.98365298) × R
    0.000106219999999935 × 6371000     		dl = 676.727619999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98375920-0.98365298) × R
    0.000106219999999935 × 6371000     		dr = 676.727619999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20133498--0.20114323) × cos(0.98375920) × R
    0.000191749999999991 × 0.553896612603209 × 6371000     		do = 676.661842398091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20133498--0.20114323) × cos(0.98365298) × R
    0.000191749999999991 × 0.553985046705521 × 6371000     		du = 676.769876968514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98375920)-sin(0.98365298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553896612603209-0.553985046705521)×R²
    abs(-0.20114323--0.20133498)×8.84341023125179e-05×R²
    0.000191749999999991×8.84341023125179e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.84341023125179e-05×40589641000000     		ar = 457952.313570306m²