Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15333 / 8471
↖ ↑ ↗
← N 65.261305°
W 11.546631°		 ← 511.23 m → N 65.261305°
W 11.535645°		 →
↑
511.27 m
↓
↑
511.27 m
↓
N 65.256707°
W 11.546631°		 ← 511.32 m →
261 402 m²		 N 65.256707°
W 11.535645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467941284179688 y=0.258529663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467941284179688 × 215)
    floor (0.467941284179688 × 32768)
    floor (15333.5)     		tx = 15333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258529663085938 × 215)
    floor (0.258529663085938 × 32768)
    floor (8471.5)     		ty = 8471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15333 / 8471 ti = "15/15333/8471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15333/8471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15333 ÷ 215
    15333 ÷ 32768     		x = 0.467926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8471 ÷ 215
    8471 ÷ 32768     		y = 0.258514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467926025390625 × 2 - 1) × π
    -0.06414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20152673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258514404296875 × 2 - 1) × π
    0.48297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51729874677402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20152673} λ = -0.20152673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51729874677402))-π/2
    2×atan(4.55989112330943)-π/2
    2×1.35491048186167-π/2
    2.70982096372333-1.57079632675     		φ = 1.13902464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20152673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.546631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13902464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.261305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15333 KachelY 8471 -0.20152673 1.13902464 -11.546631 65.261305
    Oben rechts KachelX + 1 15334 KachelY 8471 -0.20133498 1.13902464 -11.535645 65.261305
    Unten links KachelX 15333 KachelY + 1 8472 -0.20152673 1.13894439 -11.546631 65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 15334 KachelY + 1 8472 -0.20133498 1.13894439 -11.535645 65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13902464-1.13894439) × R
    8.02499999998929e-05 × 6371000     		dl = 511.272749999318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13902464-1.13894439) × R
    8.02499999998929e-05 × 6371000     		dr = 511.272749999318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20152673--0.20133498) × cos(1.13902464) × R
    0.000191749999999991 × 0.418480549950137 × 6371000     		do = 511.232265180648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20152673--0.20133498) × cos(1.13894439) × R
    0.000191749999999991 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 511.321302854231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13902464)-sin(1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418480549950137-0.418553433719698)×R²
    abs(-0.20133498--0.20152673)×7.28837695610496e-05×R²
    0.000191749999999991×7.28837695610496e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.28837695610496e-05×40589641000000     		ar = 261401.887516262m²