Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15332 / 10252
↖ ↑ ↗
← N 55.702355°
W 11.557617°		 ← 688.35 m → N 55.702355°
W 11.546631°		 →
↑
688.45 m
↓
↑
688.45 m
↓
N 55.696164°
W 11.557617°		 ← 688.46 m →
473 931 m²		 N 55.696164°
W 11.546631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467910766601562 y=0.312881469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467910766601562 × 215)
    floor (0.467910766601562 × 32768)
    floor (15332.5)     		tx = 15332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312881469726562 × 215)
    floor (0.312881469726562 × 32768)
    floor (10252.5)     		ty = 10252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15332 / 10252 ti = "15/15332/10252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15332/10252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15332 ÷ 215
    15332 ÷ 32768     		x = 0.4678955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10252 ÷ 215
    10252 ÷ 32768     		y = 0.3128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4678955078125 × 2 - 1) × π
    -0.064208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20171847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3128662109375 × 2 - 1) × π
    0.374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17579627388074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20171847} λ = -0.20171847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17579627388074))-π/2
    2×atan(3.24072241933442)-π/2
    2×1.27149291213429-π/2
    2.54298582426857-1.57079632675     		φ = 0.97218950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20171847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97218950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.702355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15332 KachelY 10252 -0.20171847 0.97218950 -11.557617 55.702355
    Oben rechts KachelX + 1 15333 KachelY 10252 -0.20152673 0.97218950 -11.546631 55.702355
    Unten links KachelX 15332 KachelY + 1 10253 -0.20171847 0.97208144 -11.557617 55.696164
    Unten rechts KachelX + 1 15333 KachelY + 1 10253 -0.20152673 0.97208144 -11.546631 55.696164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97218950-0.97208144) × R
    0.000108060000000076 × 6371000     		dl = 688.450260000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97218950-0.97208144) × R
    0.000108060000000076 × 6371000     		dr = 688.450260000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20171847--0.20152673) × cos(0.97218950) × R
    0.000191740000000024 × 0.563492090336969 × 6371000     		do = 688.348154539196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20171847--0.20152673) × cos(0.97208144) × R
    0.000191740000000024 × 0.563581357731658 × 6371000     		du = 688.457201405068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97218950)-sin(0.97208144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563492090336969-0.563581357731658)×R²
    abs(-0.20152673--0.20171847)×8.92673946891742e-05×R²
    0.000191740000000024×8.92673946891742e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.92673946891742e-05×40589641000000     		ar = 473931.003096291m²