Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1533 / 2547
↖ ↑ ↗
← S 40.111689°
W 45.263672°		 ← 7 474.33 m → S 40.111689°
W 45.175781°		 →
↑
7 470.57 m
↓
↑
7 470.57 m
↓
S 40.178873°
W 45.263672°		 ← 7 466.94 m →
55 809 927 m²		 S 40.178873°
W 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3743896484375 y=0.6219482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3743896484375 × 212)
    floor (0.3743896484375 × 4096)
    floor (1533.5)     		tx = 1533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6219482421875 × 212)
    floor (0.6219482421875 × 4096)
    floor (2547.5)     		ty = 2547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1533 / 2547 ti = "12/1533/2547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1533/2547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1533 ÷ 212
    1533 ÷ 4096     		x = 0.374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2547 ÷ 212
    2547 ÷ 4096     		y = 0.621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.24365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.765456413133057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79000011} λ = -0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765456413133057))-π/2
    2×atan(0.465121594917128)-π/2
    2×0.435357645531044-π/2
    0.870715291062089-1.57079632675     		φ = -0.70008104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70008104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.111689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1533 KachelY 2547 -0.79000011 -0.70008104 -45.263672 -40.111689
    Oben rechts KachelX + 1 1534 KachelY 2547 -0.78846612 -0.70008104 -45.175781 -40.111689
    Unten links KachelX 1533 KachelY + 1 2548 -0.79000011 -0.70125363 -45.263672 -40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 1534 KachelY + 1 2548 -0.78846612 -0.70125363 -45.175781 -40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70008104--0.70125363) × R
    0.00117258999999992 × 6371000     		dl = 7470.57088999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70008104--0.70125363) × R
    0.00117258999999992 × 6371000     		dr = 7470.57088999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79000011--0.78846612) × cos(-0.70008104) × R
    0.00153398999999999 × 0.764789977371628 × 6371000     		do = 7474.33091014081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79000011--0.78846612) × cos(-0.70125363) × R
    0.00153398999999999 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 7466.9424694303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70008104)-sin(-0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764789977371628-0.764033975868385)×R²
    abs(-0.78846612--0.79000011)×0.000756001503243842×R²
    0.00153398999999999×0.000756001503243842×6371000²
    0.00153398999999999×0.000756001503243842×40589641000000     		ar = 55809927.3792032m²