Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1533 / 2537
↖ ↑ ↗
← S 39.436193°
W 45.263672°		 ← 7 548.04 m → S 39.436193°
W 45.175781°		 →
↑
7 544.35 m
↓
↑
7 544.35 m
↓
S 39.504041°
W 45.263672°		 ← 7 540.69 m →
56 917 320 m²		 S 39.504041°
W 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3743896484375 y=0.6195068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3743896484375 × 212)
    floor (0.3743896484375 × 4096)
    floor (1533.5)     		tx = 1533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6195068359375 × 212)
    floor (0.6195068359375 × 4096)
    floor (2537.5)     		ty = 2537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1533 / 2537 ti = "12/1533/2537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1533/2537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1533 ÷ 212
    1533 ÷ 4096     		x = 0.374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2537 ÷ 212
    2537 ÷ 4096     		y = 0.619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.750116605254639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79000011} λ = -0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750116605254639))-π/2
    2×atan(0.472311475530058)-π/2
    2×0.441252457260743-π/2
    0.882504914521487-1.57079632675     		φ = -0.68829141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68829141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.436193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1533 KachelY 2537 -0.79000011 -0.68829141 -45.263672 -39.436193
    Oben rechts KachelX + 1 1534 KachelY 2537 -0.78846612 -0.68829141 -45.175781 -39.436193
    Unten links KachelX 1533 KachelY + 1 2538 -0.79000011 -0.68947558 -45.263672 -39.504041
    Unten rechts KachelX + 1 1534 KachelY + 1 2538 -0.78846612 -0.68947558 -45.175781 -39.504041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68829141--0.68947558) × R
    0.00118416999999993 × 6371000     		dl = 7544.34706999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68829141--0.68947558) × R
    0.00118416999999993 × 6371000     		dr = 7544.34706999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79000011--0.78846612) × cos(-0.68829141) × R
    0.00153398999999999 × 0.772332469790943 × 6371000     		do = 7548.04406786671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79000011--0.78846612) × cos(-0.68947558) × R
    0.00153398999999999 × 0.771579721758282 × 6371000     		du = 7540.68742348783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68829141)-sin(-0.68947558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772332469790943-0.771579721758282)×R²
    abs(-0.78846612--0.79000011)×0.000752748032660122×R²
    0.00153398999999999×0.000752748032660122×6371000²
    0.00153398999999999×0.000752748032660122×40589641000000     		ar = 56917320.2594755m²