Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1533 / 2536
↖ ↑ ↗
← S 39.368279°
W 45.263672°		 ← 7 555.40 m → S 39.368279°
W 45.175781°		 →
↑
7 551.67 m
↓
↑
7 551.67 m
↓
S 39.436193°
W 45.263672°		 ← 7 548.04 m →
57 028 137 m²		 S 39.436193°
W 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3743896484375 y=0.6192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3743896484375 × 212)
    floor (0.3743896484375 × 4096)
    floor (1533.5)     		tx = 1533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6192626953125 × 212)
    floor (0.6192626953125 × 4096)
    floor (2536.5)     		ty = 2536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1533 / 2536 ti = "12/1533/2536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1533/2536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1533 ÷ 212
    1533 ÷ 4096     		x = 0.374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2536 ÷ 212
    2536 ÷ 4096     		y = 0.619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619140625 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79000011} λ = -0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748582624466797))-π/2
    2×atan(0.473036548241022)-π/2
    2×0.441845117407181-π/2
    0.883690234814362-1.57079632675     		φ = -0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1533 KachelY 2536 -0.79000011 -0.68710609 -45.263672 -39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 1534 KachelY 2536 -0.78846612 -0.68710609 -45.175781 -39.368279
    Unten links KachelX 1533 KachelY + 1 2537 -0.79000011 -0.68829141 -45.263672 -39.436193
    Unten rechts KachelX + 1 1534 KachelY + 1 2537 -0.78846612 -0.68829141 -45.175781 -39.436193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68710609--0.68829141) × R
    0.00118532000000005 × 6371000     		dl = 7551.67372000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68710609--0.68829141) × R
    0.00118532000000005 × 6371000     		dr = 7551.67372000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79000011--0.78846612) × cos(-0.68710609) × R
    0.00153398999999999 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 7555.39725687414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79000011--0.78846612) × cos(-0.68829141) × R
    0.00153398999999999 × 0.772332469790943 × 6371000     		du = 7548.04406786671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68710609)-sin(-0.68829141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.772332469790943)×R²
    abs(-0.78846612--0.79000011)×0.000752394471452589×R²
    0.00153398999999999×0.000752394471452589×6371000²
    0.00153398999999999×0.000752394471452589×40589641000000     		ar = 57028137.1437685m²