Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1533 / 1610
↖ ↑ ↗
← S 71.187754°
E 89.472656°		 ← 6 302.95 m → S 71.187754°
E 89.648437°		 →
↑
6 293.85 m
↓
↑
6 293.85 m
↓
S 71.244356°
E 89.472656°		 ← 6 284.67 m →
39 612 287 m²		 S 71.244356°
E 89.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748779296875 y=0.786376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748779296875 × 211)
    floor (0.748779296875 × 2048)
    floor (1533.5)     		tx = 1533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786376953125 × 211)
    floor (0.786376953125 × 2048)
    floor (1610.5)     		ty = 1610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1533 / 1610 ti = "11/1533/1610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1533/1610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1533 ÷ 211
    1533 ÷ 2048     		x = 0.74853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1610 ÷ 211
    1610 ÷ 2048     		y = 0.7861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    0.4970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56159244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7861328125 × 2 - 1) × π
    -0.572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79782548335059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56159244} λ = 1.56159244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79782548335059))-π/2
    2×atan(0.165658724499351)-π/2
    2×0.164167816920288-π/2
    0.328335633840577-1.57079632675     		φ = -1.24246069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56159244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24246069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.187754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1533 KachelY 1610 1.56159244 -1.24246069 89.472656 -71.187754
    Oben rechts KachelX + 1 1534 KachelY 1610 1.56466040 -1.24246069 89.648437 -71.187754
    Unten links KachelX 1533 KachelY + 1 1611 1.56159244 -1.24344858 89.472656 -71.244356
    Unten rechts KachelX + 1 1534 KachelY + 1 1611 1.56466040 -1.24344858 89.648437 -71.244356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24246069--1.24344858) × R
    0.000987889999999991 × 6371000     		dl = 6293.84718999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24246069--1.24344858) × R
    0.000987889999999991 × 6371000     		dr = 6293.84718999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56159244-1.56466040) × cos(-1.24246069) × R
    0.00306795999999987 × 0.322468022238295 × 6371000     		do = 6302.95130762773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56159244-1.56466040) × cos(-1.24344858) × R
    0.00306795999999987 × 0.321532747767724 × 6371000     		du = 6284.67045792871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24246069)-sin(-1.24344858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322468022238295-0.321532747767724)×R²
    abs(1.56466040-1.56159244)×0.000935274470571235×R²
    0.00306795999999987×0.000935274470571235×6371000²
    0.00306795999999987×0.000935274470571235×40589641000000     		ar = 39612287.1605207m²