Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15329 / 10138
↖ ↑ ↗
← N 56.401744°
W 11.590576°		 ← 676.01 m → N 56.401744°
W 11.579590°		 →
↑
676.03 m
↓
↑
676.03 m
↓
N 56.395665°
W 11.590576°		 ← 676.12 m →
457 040 m²		 N 56.395665°
W 11.579590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467819213867188 y=0.309402465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467819213867188 × 215)
    floor (0.467819213867188 × 32768)
    floor (15329.5)     		tx = 15329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309402465820312 × 215)
    floor (0.309402465820312 × 32768)
    floor (10138.5)     		ty = 10138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15329 / 10138 ti = "15/15329/10138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15329/10138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15329 ÷ 215
    15329 ÷ 32768     		x = 0.467803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10138 ÷ 215
    10138 ÷ 32768     		y = 0.30938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.06439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20229372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30938720703125 × 2 - 1) × π
    0.3812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19765550010748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20229372} λ = -0.20229372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19765550010748))-π/2
    2×atan(3.31234202665091)-π/2
    2×1.27759623514892-π/2
    2.55519247029785-1.57079632675     		φ = 0.98439614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20229372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.590576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98439614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.401744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15329 KachelY 10138 -0.20229372 0.98439614 -11.590576 56.401744
    Oben rechts KachelX + 1 15330 KachelY 10138 -0.20210197 0.98439614 -11.579590 56.401744
    Unten links KachelX 15329 KachelY + 1 10139 -0.20229372 0.98429003 -11.590576 56.395665
    Unten rechts KachelX + 1 15330 KachelY + 1 10139 -0.20210197 0.98429003 -11.579590 56.395665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98439614-0.98429003) × R
    0.000106109999999937 × 6371000     		dl = 676.026809999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98439614-0.98429003) × R
    0.000106109999999937 × 6371000     		dr = 676.026809999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20229372--0.20210197) × cos(0.98439614) × R
    0.000191750000000018 × 0.553366193302472 × 6371000     		do = 676.013861361452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20229372--0.20210197) × cos(0.98429003) × R
    0.000191750000000018 × 0.553454573247409 × 6371000     		du = 676.121829771099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98439614)-sin(0.98429003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553366193302472-0.553454573247409)×R²
    abs(-0.20210197--0.20229372)×8.83799449363787e-05×R²
    0.000191750000000018×8.83799449363787e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.83799449363787e-05×40589641000000     		ar = 457039.989409559m²