Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15328 / 3423
↖ ↑ ↗
← N 71.753313°
E156.796875°		 ← 764.99 m → N 71.753313°
E156.818848°		 →
↑
765.16 m
↓
↑
765.16 m
↓
N 71.746432°
E156.796875°		 ← 765.27 m →
585 446 m²		 N 71.746432°
E156.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935577392578125 y=0.208953857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935577392578125 × 214)
    floor (0.935577392578125 × 16384)
    floor (15328.5)     		tx = 15328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208953857421875 × 214)
    floor (0.208953857421875 × 16384)
    floor (3423.5)     		ty = 3423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15328 / 3423 ti = "14/15328/3423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15328/3423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15328 ÷ 214
    15328 ÷ 16384     		x = 0.935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3423 ÷ 214
    3423 ÷ 16384     		y = 0.20892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935546875 × 2 - 1) × π
    0.87109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.73662173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20892333984375 × 2 - 1) × π
    0.5821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82888859430438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73662173} λ = 2.73662173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82888859430438))-π/2
    2×atan(6.22696213007955)-π/2
    2×1.41156394222966-π/2
    2.82312788445932-1.57079632675     		φ = 1.25233156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73662173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25233156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.753313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15328 KachelY 3423 2.73662173 1.25233156 156.796875 71.753313
    Oben rechts KachelX + 1 15329 KachelY 3423 2.73700522 1.25233156 156.818848 71.753313
    Unten links KachelX 15328 KachelY + 1 3424 2.73662173 1.25221146 156.796875 71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 15329 KachelY + 1 3424 2.73700522 1.25221146 156.818848 71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25233156-1.25221146) × R
    0.000120099999999956 × 6371000     		dl = 765.157099999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25233156-1.25221146) × R
    0.000120099999999956 × 6371000     		dr = 765.157099999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73662173-2.73700522) × cos(1.25233156) × R
    0.000383489999999931 × 0.31310889274794 × 6371000     		do = 764.992277642153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73662173-2.73700522) × cos(1.25221146) × R
    0.000383489999999931 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 765.270947743259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25233156)-sin(1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31310889274794-0.313222951529119)×R²
    abs(2.73700522-2.73662173)×0.000114058781179205×R²
    0.000383489999999931×0.000114058781179205×6371000²
    0.000383489999999931×0.000114058781179205×40589641000000     		ar = 585445.886590281m²