Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15325 / 8516
↖ ↑ ↗
← N 65.053602°
W 11.634522°		 ← 515.25 m → N 65.053602°
W 11.623535°		 →
↑
515.29 m
↓
↑
515.29 m
↓
N 65.048968°
W 11.634522°		 ← 515.34 m →
265 525 m²		 N 65.048968°
W 11.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467697143554688 y=0.259902954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467697143554688 × 215)
    floor (0.467697143554688 × 32768)
    floor (15325.5)     		tx = 15325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259902954101562 × 215)
    floor (0.259902954101562 × 32768)
    floor (8516.5)     		ty = 8516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15325 / 8516 ti = "15/15325/8516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15325/8516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15325 ÷ 215
    15325 ÷ 32768     		x = 0.467681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8516 ÷ 215
    8516 ÷ 32768     		y = 0.2598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.06463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20306071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2598876953125 × 2 - 1) × π
    0.480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50867010484241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20306071} λ = -0.20306071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50867010484241))-π/2
    2×atan(4.52071471821308)-π/2
    2×1.35309793341331-π/2
    2.70619586682662-1.57079632675     		φ = 1.13539954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20306071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.634522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13539954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.053602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15325 KachelY 8516 -0.20306071 1.13539954 -11.634522 65.053602
    Oben rechts KachelX + 1 15326 KachelY 8516 -0.20286896 1.13539954 -11.623535 65.053602
    Unten links KachelX 15325 KachelY + 1 8517 -0.20306071 1.13531866 -11.634522 65.048968
    Unten rechts KachelX + 1 15326 KachelY + 1 8517 -0.20286896 1.13531866 -11.623535 65.048968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13539954-1.13531866) × R
    8.08800000000609e-05 × 6371000     		dl = 515.286480000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13539954-1.13531866) × R
    8.08800000000609e-05 × 6371000     		dr = 515.286480000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20306071--0.20286896) × cos(1.13539954) × R
    0.000191750000000018 × 0.421770202241302 × 6371000     		do = 515.251033538461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20306071--0.20286896) × cos(1.13531866) × R
    0.000191750000000018 × 0.421843534980997 × 6371000     		du = 515.340619691584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13539954)-sin(1.13531866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421770202241302-0.421843534980997)×R²
    abs(-0.20286896--0.20306071)×7.33327396956196e-05×R²
    0.000191750000000018×7.33327396956196e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.33327396956196e-05×40589641000000     		ar = 265524.972800308m²