Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15325 / 3352
↖ ↑ ↗
← N 72.235514°
E156.730957°		 ← 745.46 m → N 72.235514°
E156.752930°		 →
↑
745.60 m
↓
↑
745.60 m
↓
N 72.228808°
E156.730957°		 ← 745.73 m →
555 913 m²		 N 72.228808°
E156.752930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935394287109375 y=0.204620361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935394287109375 × 214)
    floor (0.935394287109375 × 16384)
    floor (15325.5)     		tx = 15325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204620361328125 × 214)
    floor (0.204620361328125 × 16384)
    floor (3352.5)     		ty = 3352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15325 / 3352 ti = "14/15325/3352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15325/3352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15325 ÷ 214
    15325 ÷ 16384     		x = 0.93536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3352 ÷ 214
    3352 ÷ 16384     		y = 0.20458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93536376953125 × 2 - 1) × π
    0.8707275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73547124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20458984375 × 2 - 1) × π
    0.5908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85611675328857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73547124} λ = 2.73547124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85611675328857))-π/2
    2×atan(6.39884018781053)-π/2
    2×1.41577193907977-π/2
    2.83154387815953-1.57079632675     		φ = 1.26074755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73547124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26074755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.235514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15325 KachelY 3352 2.73547124 1.26074755 156.730957 72.235514
    Oben rechts KachelX + 1 15326 KachelY 3352 2.73585474 1.26074755 156.752930 72.235514
    Unten links KachelX 15325 KachelY + 1 3353 2.73547124 1.26063052 156.730957 72.228808
    Unten rechts KachelX + 1 15326 KachelY + 1 3353 2.73585474 1.26063052 156.752930 72.228808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26074755-1.26063052) × R
    0.000117029999999962 × 6371000     		dl = 745.598129999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26074755-1.26063052) × R
    0.000117029999999962 × 6371000     		dr = 745.598129999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73547124-2.73585474) × cos(1.26074755) × R
    0.000383500000000314 × 0.305105087859742 × 6371000     		do = 745.45670140893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73547124-2.73585474) × cos(1.26063052) × R
    0.000383500000000314 × 0.305216535626295 × 6371000     		du = 745.728999340822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26074755)-sin(1.26063052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305105087859742-0.305216535626295)×R²
    abs(2.73585474-2.73547124)×0.000111447766552975×R²
    0.000383500000000314×0.000111447766552975×6371000²
    0.000383500000000314×0.000111447766552975×40589641000000     		ar = 555912.635615633m²