Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15322 / 3514
↖ ↑ ↗
← N 71.116771°
E156.665039°		 ← 790.74 m → N 71.116771°
E156.687012°		 →
↑
790.90 m
↓
↑
790.90 m
↓
N 71.109658°
E156.665039°		 ← 791.03 m →
625 510 m²		 N 71.109658°
E156.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935211181640625 y=0.214508056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935211181640625 × 214)
    floor (0.935211181640625 × 16384)
    floor (15322.5)     		tx = 15322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214508056640625 × 214)
    floor (0.214508056640625 × 16384)
    floor (3514.5)     		ty = 3514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15322 / 3514 ti = "14/15322/3514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15322/3514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15322 ÷ 214
    15322 ÷ 16384     		x = 0.9351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3514 ÷ 214
    3514 ÷ 16384     		y = 0.2144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9351806640625 × 2 - 1) × π
    0.870361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73432075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2144775390625 × 2 - 1) × π
    0.571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79399053138098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73432075} λ = 2.73432075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79399053138098))-π/2
    2×atan(6.01340131694417)-π/2
    2×1.40600906170335-π/2
    2.81201812340671-1.57079632675     		φ = 1.24122180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73432075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24122180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.116771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15322 KachelY 3514 2.73432075 1.24122180 156.665039 71.116771
    Oben rechts KachelX + 1 15323 KachelY 3514 2.73470425 1.24122180 156.687012 71.116771
    Unten links KachelX 15322 KachelY + 1 3515 2.73432075 1.24109766 156.665039 71.109658
    Unten rechts KachelX + 1 15323 KachelY + 1 3515 2.73470425 1.24109766 156.687012 71.109658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24122180-1.24109766) × R
    0.000124139999999828 × 6371000     		dl = 790.895939998906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24122180-1.24109766) × R
    0.000124139999999828 × 6371000     		dr = 790.895939998906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73432075-2.73470425) × cos(1.24122180) × R
    0.00038349999999987 × 0.323640483408607 × 6371000     		do = 790.743834841589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73432075-2.73470425) × cos(1.24109766) × R
    0.00038349999999987 × 0.323757939715815 × 6371000     		du = 791.030813311678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24122180)-sin(1.24109766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323640483408607-0.323757939715815)×R²
    abs(2.73470425-2.73432075)×0.000117456307207164×R²
    0.00038349999999987×0.000117456307207164×6371000²
    0.00038349999999987×0.000117456307207164×40589641000000     		ar = 625509.574412623m²