Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15322 / 10200
↖ ↑ ↗
← N 56.022948°
W 11.667480°		 ← 682.73 m → N 56.022948°
W 11.656494°		 →
↑
682.78 m
↓
↑
682.78 m
↓
N 56.016808°
W 11.667480°		 ← 682.83 m →
466 189 m²		 N 56.016808°
W 11.656494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467605590820312 y=0.311294555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467605590820312 × 215)
    floor (0.467605590820312 × 32768)
    floor (15322.5)     		tx = 15322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311294555664062 × 215)
    floor (0.311294555664062 × 32768)
    floor (10200.5)     		ty = 10200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15322 / 10200 ti = "15/15322/10200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15322/10200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15322 ÷ 215
    15322 ÷ 32768     		x = 0.46759033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10200 ÷ 215
    10200 ÷ 32768     		y = 0.311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.0648193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20363595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311279296875 × 2 - 1) × π
    0.37744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18576714900171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20363595} λ = -0.20363595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18576714900171))-π/2
    2×atan(3.27319688827046)-π/2
    2×1.27429061371964-π/2
    2.54858122743929-1.57079632675     		φ = 0.97778490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20363595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.667480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97778490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.022948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15322 KachelY 10200 -0.20363595 0.97778490 -11.667480 56.022948
    Oben rechts KachelX + 1 15323 KachelY 10200 -0.20344420 0.97778490 -11.656494 56.022948
    Unten links KachelX 15322 KachelY + 1 10201 -0.20363595 0.97767773 -11.667480 56.016808
    Unten rechts KachelX + 1 15323 KachelY + 1 10201 -0.20344420 0.97767773 -11.656494 56.016808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97778490-0.97767773) × R
    0.000107169999999934 × 6371000     		dl = 682.780069999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97778490-0.97767773) × R
    0.000107169999999934 × 6371000     		dr = 682.780069999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20363595--0.20344420) × cos(0.97778490) × R
    0.000191750000000018 × 0.558860813425385 × 6371000     		do = 682.726304967442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20363595--0.20344420) × cos(0.97767773) × R
    0.000191750000000018 × 0.558949682167943 × 6371000     		du = 682.83487051145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97778490)-sin(0.97767773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558860813425385-0.558949682167943)×R²
    abs(-0.20344420--0.20363595)×8.88687425585344e-05×R²
    0.000191750000000018×8.88687425585344e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.88687425585344e-05×40589641000000     		ar = 466188.977937416m²