Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15321 / 3367
↖ ↑ ↗
← N 72.134678°
E156.643066°		 ← 749.53 m → N 72.134678°
E156.665039°		 →
↑
749.68 m
↓
↑
749.68 m
↓
N 72.127936°
E156.643066°		 ← 749.80 m →
562 008 m²		 N 72.127936°
E156.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935150146484375 y=0.205535888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935150146484375 × 214)
    floor (0.935150146484375 × 16384)
    floor (15321.5)     		tx = 15321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205535888671875 × 214)
    floor (0.205535888671875 × 16384)
    floor (3367.5)     		ty = 3367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15321 / 3367 ti = "14/15321/3367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15321/3367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15321 ÷ 214
    15321 ÷ 16384     		x = 0.93511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3367 ÷ 214
    3367 ÷ 16384     		y = 0.20550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93511962890625 × 2 - 1) × π
    0.8702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73393726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20550537109375 × 2 - 1) × π
    0.5889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85036432533417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73393726} λ = 2.73393726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85036432533417))-π/2
    2×atan(6.36213698810471)-π/2
    2×1.41489198395757-π/2
    2.82978396791514-1.57079632675     		φ = 1.25898764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73393726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.643066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25898764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.134678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15321 KachelY 3367 2.73393726 1.25898764 156.643066 72.134678
    Oben rechts KachelX + 1 15322 KachelY 3367 2.73432075 1.25898764 156.665039 72.134678
    Unten links KachelX 15321 KachelY + 1 3368 2.73393726 1.25886997 156.643066 72.127936
    Unten rechts KachelX + 1 15322 KachelY + 1 3368 2.73432075 1.25886997 156.665039 72.127936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25898764-1.25886997) × R
    0.00011767000000007 × 6371000     		dl = 749.675570000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25898764-1.25886997) × R
    0.00011767000000007 × 6371000     		dr = 749.675570000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73393726-2.73432075) × cos(1.25898764) × R
    0.000383490000000375 × 0.306780609680166 × 6371000     		do = 749.530922856531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73393726-2.73432075) × cos(1.25886997) × R
    0.000383490000000375 × 0.306892603538866 × 6371000     		du = 749.804547908496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25898764)-sin(1.25886997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306780609680166-0.306892603538866)×R²
    abs(2.73432075-2.73393726)×0.000111993858699921×R²
    0.000383490000000375×0.000111993858699921×6371000²
    0.000383490000000375×0.000111993858699921×40589641000000     		ar = 562007.587481632m²