Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15321 / 3365
↖ ↑ ↗
← N 72.148155°
E156.643066°		 ← 748.98 m → N 72.148155°
E156.665039°		 →
↑
749.10 m
↓
↑
749.10 m
↓
N 72.141418°
E156.643066°		 ← 749.26 m →
561 168 m²		 N 72.141418°
E156.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935150146484375 y=0.205413818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935150146484375 × 214)
    floor (0.935150146484375 × 16384)
    floor (15321.5)     		tx = 15321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205413818359375 × 214)
    floor (0.205413818359375 × 16384)
    floor (3365.5)     		ty = 3365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15321 / 3365 ti = "14/15321/3365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15321/3365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15321 ÷ 214
    15321 ÷ 16384     		x = 0.93511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3365 ÷ 214
    3365 ÷ 16384     		y = 0.20538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93511962890625 × 2 - 1) × π
    0.8702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73393726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20538330078125 × 2 - 1) × π
    0.5892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85113131572809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73393726} λ = 2.73393726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85113131572809))-π/2
    2×atan(6.36701855787865)-π/2
    2×1.41500958991464-π/2
    2.83001917982928-1.57079632675     		φ = 1.25922285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73393726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.643066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25922285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.148155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15321 KachelY 3365 2.73393726 1.25922285 156.643066 72.148155
    Oben rechts KachelX + 1 15322 KachelY 3365 2.73432075 1.25922285 156.665039 72.148155
    Unten links KachelX 15321 KachelY + 1 3366 2.73393726 1.25910527 156.643066 72.141418
    Unten rechts KachelX + 1 15322 KachelY + 1 3366 2.73432075 1.25910527 156.665039 72.141418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25922285-1.25910527) × R
    0.000117579999999951 × 6371000     		dl = 749.102179999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25922285-1.25910527) × R
    0.000117579999999951 × 6371000     		dr = 749.102179999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73393726-2.73432075) × cos(1.25922285) × R
    0.000383490000000375 × 0.306556732961866 × 6371000     		do = 748.983943947244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73393726-2.73432075) × cos(1.25910527) × R
    0.000383490000000375 × 0.306668649646365 × 6371000     		du = 749.25738044606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25922285)-sin(1.25910527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306556732961866-0.306668649646365)×R²
    abs(2.73432075-2.73393726)×0.000111916684498781×R²
    0.000383490000000375×0.000111916684498781×6371000²
    0.000383490000000375×0.000111916684498781×40589641000000     		ar = 561167.92177937m²