Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15321 / 10237
↖ ↑ ↗
← N 55.795106°
W 11.678467°		 ← 686.75 m → N 55.795106°
W 11.667480°		 →
↑
686.79 m
↓
↑
686.79 m
↓
N 55.788929°
W 11.678467°		 ← 686.86 m →
471 693 m²		 N 55.788929°
W 11.667480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467575073242188 y=0.312423706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467575073242188 × 215)
    floor (0.467575073242188 × 32768)
    floor (15321.5)     		tx = 15321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312423706054688 × 215)
    floor (0.312423706054688 × 32768)
    floor (10237.5)     		ty = 10237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15321 / 10237 ti = "15/15321/10237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15321/10237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15321 ÷ 215
    15321 ÷ 32768     		x = 0.467559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10237 ÷ 215
    10237 ÷ 32768     		y = 0.312408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.06488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20382770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312408447265625 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17867248785794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20382770} λ = -0.20382770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17867248785794))-π/2
    2×atan(3.25005684792513)-π/2
    2×1.27230231170747-π/2
    2.54460462341493-1.57079632675     		φ = 0.97380830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20382770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.678467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97380830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.795106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15321 KachelY 10237 -0.20382770 0.97380830 -11.678467 55.795106
    Oben rechts KachelX + 1 15322 KachelY 10237 -0.20363595 0.97380830 -11.667480 55.795106
    Unten links KachelX 15321 KachelY + 1 10238 -0.20382770 0.97370050 -11.678467 55.788929
    Unten rechts KachelX + 1 15322 KachelY + 1 10238 -0.20363595 0.97370050 -11.667480 55.788929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97380830-0.97370050) × R
    0.000107799999999991 × 6371000     		dl = 686.793799999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97380830-0.97370050) × R
    0.000107799999999991 × 6371000     		dr = 686.793799999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20382770--0.20363595) × cos(0.97380830) × R
    0.000191749999999991 × 0.562154027184957 × 6371000     		do = 686.749424154677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20382770--0.20363595) × cos(0.97370050) × R
    0.000191749999999991 × 0.562243178028038 × 6371000     		du = 686.858334323755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97380830)-sin(0.97370050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562154027184957-0.562243178028038)×R²
    abs(-0.20363595--0.20382770)×8.91508430806986e-05×R²
    0.000191749999999991×8.91508430806986e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.91508430806986e-05×40589641000000     		ar = 471692.646533862m²