Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15321 / 10202
↖ ↑ ↗
← N 56.010667°
W 11.678467°		 ← 682.94 m → N 56.010667°
W 11.667480°		 →
↑
683.03 m
↓
↑
683.03 m
↓
N 56.004524°
W 11.678467°		 ← 683.05 m →
466 511 m²		 N 56.004524°
W 11.667480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467575073242188 y=0.311355590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467575073242188 × 215)
    floor (0.467575073242188 × 32768)
    floor (15321.5)     		tx = 15321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311355590820312 × 215)
    floor (0.311355590820312 × 32768)
    floor (10202.5)     		ty = 10202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15321 / 10202 ti = "15/15321/10202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15321/10202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15321 ÷ 215
    15321 ÷ 32768     		x = 0.467559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10202 ÷ 215
    10202 ÷ 32768     		y = 0.31134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.06488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20382770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31134033203125 × 2 - 1) × π
    0.3773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18538365380475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20382770} λ = -0.20382770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18538365380475))-π/2
    2×atan(3.27194187364653)-π/2
    2×1.27418343646047-π/2
    2.54836687292095-1.57079632675     		φ = 0.97757055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20382770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.678467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97757055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.010667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15321 KachelY 10202 -0.20382770 0.97757055 -11.678467 56.010667
    Oben rechts KachelX + 1 15322 KachelY 10202 -0.20363595 0.97757055 -11.667480 56.010667
    Unten links KachelX 15321 KachelY + 1 10203 -0.20382770 0.97746334 -11.678467 56.004524
    Unten rechts KachelX + 1 15322 KachelY + 1 10203 -0.20363595 0.97746334 -11.667480 56.004524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97757055-0.97746334) × R
    0.000107210000000024 × 6371000     		dl = 683.034910000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97757055-0.97746334) × R
    0.000107210000000024 × 6371000     		dr = 683.034910000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20382770--0.20363595) × cos(0.97757055) × R
    0.000191749999999991 × 0.559038552782153 × 6371000     		do = 682.943438341841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20382770--0.20363595) × cos(0.97746334) × R
    0.000191749999999991 × 0.55912744184683 × 6371000     		du = 683.052028712146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97757055)-sin(0.97746334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559038552782153-0.55912744184683)×R²
    abs(-0.20363595--0.20382770)×8.88890646768559e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88890646768559e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88890646768559e-05×40589641000000     		ar = 466511.295897321m²