Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15320 / 3433
↖ ↑ ↗
← N 71.684389°
E156.621094°		 ← 767.80 m → N 71.684389°
E156.643066°		 →
↑
767.90 m
↓
↑
767.90 m
↓
N 71.677483°
E156.621094°		 ← 768.08 m →
589 701 m²		 N 71.677483°
E156.643066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935089111328125 y=0.209564208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935089111328125 × 214)
    floor (0.935089111328125 × 16384)
    floor (15320.5)     		tx = 15320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209564208984375 × 214)
    floor (0.209564208984375 × 16384)
    floor (3433.5)     		ty = 3433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15320 / 3433 ti = "14/15320/3433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15320/3433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15320 ÷ 214
    15320 ÷ 16384     		x = 0.93505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3433 ÷ 214
    3433 ÷ 16384     		y = 0.20953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93505859375 × 2 - 1) × π
    0.8701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73355376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20953369140625 × 2 - 1) × π
    0.5809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82505364233478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73355376} λ = 2.73355376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82505364233478))-π/2
    2×atan(6.20312776043627)-π/2
    2×1.41096246893353-π/2
    2.82192493786707-1.57079632675     		φ = 1.25112861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73355376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25112861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.684389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15320 KachelY 3433 2.73355376 1.25112861 156.621094 71.684389
    Oben rechts KachelX + 1 15321 KachelY 3433 2.73393726 1.25112861 156.643066 71.684389
    Unten links KachelX 15320 KachelY + 1 3434 2.73355376 1.25100808 156.621094 71.677483
    Unten rechts KachelX + 1 15321 KachelY + 1 3434 2.73393726 1.25100808 156.643066 71.677483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25112861-1.25100808) × R
    0.000120530000000008 × 6371000     		dl = 767.896630000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25112861-1.25100808) × R
    0.000120530000000008 × 6371000     		dr = 767.896630000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73355376-2.73393726) × cos(1.25112861) × R
    0.00038349999999987 × 0.314251128268822 × 6371000     		do = 767.803025299695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73355376-2.73393726) × cos(1.25100808) × R
    0.00038349999999987 × 0.314365549922952 × 6371000     		du = 768.082589267166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25112861)-sin(1.25100808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314251128268822-0.314365549922952)×R²
    abs(2.73393726-2.73355376)×0.000114421654129948×R²
    0.00038349999999987×0.000114421654129948×6371000²
    0.00038349999999987×0.000114421654129948×40589641000000     		ar = 589700.69446018m²