Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1532 / 2549
↖ ↑ ↗
← S 40.245991°
W 45.351563°		 ← 7 459.50 m → S 40.245991°
W 45.263672°		 →
↑
7 455.85 m
↓
↑
7 455.85 m
↓
S 40.313043°
W 45.351563°		 ← 7 452.11 m →
55 589 401 m²		 S 40.313043°
W 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3741455078125 y=0.6224365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3741455078125 × 212)
    floor (0.3741455078125 × 4096)
    floor (1532.5)     		tx = 1532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6224365234375 × 212)
    floor (0.6224365234375 × 4096)
    floor (2549.5)     		ty = 2549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1532 / 2549 ti = "12/1532/2549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1532/2549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1532 ÷ 212
    1532 ÷ 4096     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2549 ÷ 212
    2549 ÷ 4096     		y = 0.622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622314453125 × 2 - 1) × π
    -0.24462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.76852437470874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76852437470874))-π/2
    2×atan(0.46369680645159)-π/2
    2×0.434185632166862-π/2
    0.868371264333725-1.57079632675     		φ = -0.70242506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70242506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.245991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1532 KachelY 2549 -0.79153409 -0.70242506 -45.351563 -40.245991
    Oben rechts KachelX + 1 1533 KachelY 2549 -0.79000011 -0.70242506 -45.263672 -40.245991
    Unten links KachelX 1532 KachelY + 1 2550 -0.79153409 -0.70359534 -45.351563 -40.313043
    Unten rechts KachelX + 1 1533 KachelY + 1 2550 -0.79000011 -0.70359534 -45.263672 -40.313043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70242506--0.70359534) × R
    0.00117027999999997 × 6371000     		dl = 7455.8538799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70242506--0.70359534) × R
    0.00117027999999997 × 6371000     		dr = 7455.8538799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.79000011) × cos(-0.70242506) × R
    0.00153397999999993 × 0.763277673285907 × 6371000     		do = 7459.50245783648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.79000011) × cos(-0.70359534) × R
    0.00153397999999993 × 0.7625210673055 × 6371000     		du = 7452.10815774361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70242506)-sin(-0.70359534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763277673285907-0.7625210673055)×R²
    abs(-0.79000011--0.79153409)×0.000756605980407388×R²
    0.00153397999999993×0.000756605980407388×6371000²
    0.00153397999999993×0.000756605980407388×40589641000000     		ar = 55589401.2770095m²