Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1532 / 1578
↖ ↑ ↗
← S 69.287257°
E 89.296875°		 ← 6 913.08 m → S 69.287257°
E 89.472656°		 →
↑
6 903.17 m
↓
↑
6 903.17 m
↓
S 69.349338°
E 89.296875°		 ← 6 893.26 m →
47 653 754 m²		 S 69.349338°
E 89.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748291015625 y=0.770751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748291015625 × 211)
    floor (0.748291015625 × 2048)
    floor (1532.5)     		tx = 1532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770751953125 × 211)
    floor (0.770751953125 × 2048)
    floor (1578.5)     		ty = 1578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1532 / 1578 ti = "11/1532/1578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1532/1578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1532 ÷ 211
    1532 ÷ 2048     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1578 ÷ 211
    1578 ÷ 2048     		y = 0.7705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7705078125 × 2 - 1) × π
    -0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69965071292871))-π/2
    2×atan(0.18274734419095)-π/2
    2×0.180752781664976-π/2
    0.361505563329953-1.57079632675     		φ = -1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1532 KachelY 1578 1.55852448 -1.20929076 89.296875 -69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 1533 KachelY 1578 1.56159244 -1.20929076 89.472656 -69.287257
    Unten links KachelX 1532 KachelY + 1 1579 1.55852448 -1.21037429 89.296875 -69.349338
    Unten rechts KachelX + 1 1533 KachelY + 1 1579 1.56159244 -1.21037429 89.472656 -69.349338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20929076--1.21037429) × R
    0.00108353000000005 × 6371000     		dl = 6903.16963000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20929076--1.21037429) × R
    0.00108353000000005 × 6371000     		dr = 6903.16963000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.56159244) × cos(-1.20929076) × R
    0.00306796000000009 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 6913.0762490658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.56159244) × cos(-1.21037429) × R
    0.00306796000000009 × 0.352669184786511 × 6371000     		du = 6893.26242019644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20929076)-sin(-1.21037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.352669184786511)×R²
    abs(1.56159244-1.55852448)×0.00101370388197936×R²
    0.00306796000000009×0.00101370388197936×6371000²
    0.00306796000000009×0.00101370388197936×40589641000000     		ar = 47653753.5638499m²