Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15319 / 3543
↖ ↑ ↗
← N 70.909456°
E156.599121°		 ← 799.08 m → N 70.909456°
E156.621094°		 →
↑
799.24 m
↓
↑
799.24 m
↓
N 70.902268°
E156.599121°		 ← 799.37 m →
638 776 m²		 N 70.902268°
E156.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935028076171875 y=0.216278076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935028076171875 × 214)
    floor (0.935028076171875 × 16384)
    floor (15319.5)     		tx = 15319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216278076171875 × 214)
    floor (0.216278076171875 × 16384)
    floor (3543.5)     		ty = 3543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15319 / 3543 ti = "14/15319/3543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15319/3543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15319 ÷ 214
    15319 ÷ 16384     		x = 0.93499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3543 ÷ 214
    3543 ÷ 16384     		y = 0.21624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93499755859375 × 2 - 1) × π
    0.8699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73317027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21624755859375 × 2 - 1) × π
    0.5675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78286917066913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73317027} λ = 2.73317027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78286917066913))-π/2
    2×atan(5.94689461976464)-π/2
    2×1.40419990229678-π/2
    2.80839980459357-1.57079632675     		φ = 1.23760348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73317027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23760348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.909456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15319 KachelY 3543 2.73317027 1.23760348 156.599121 70.909456
    Oben rechts KachelX + 1 15320 KachelY 3543 2.73355376 1.23760348 156.621094 70.909456
    Unten links KachelX 15319 KachelY + 1 3544 2.73317027 1.23747803 156.599121 70.902268
    Unten rechts KachelX + 1 15320 KachelY + 1 3544 2.73355376 1.23747803 156.621094 70.902268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23760348-1.23747803) × R
    0.000125450000000082 × 6371000     		dl = 799.241950000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23760348-1.23747803) × R
    0.000125450000000082 × 6371000     		dr = 799.241950000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73317027-2.73355376) × cos(1.23760348) × R
    0.000383489999999931 × 0.327061939837396 × 6371000     		do = 799.082568656671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73317027-2.73355376) × cos(1.23747803) × R
    0.000383489999999931 × 0.32718048787772 × 6371000     		du = 799.372206982116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23760348)-sin(1.23747803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327061939837396-0.32718048787772)×R²
    abs(2.73355376-2.73317027)×0.000118548040323907×R²
    0.000383489999999931×0.000118548040323907×6371000²
    0.000383489999999931×0.000118548040323907×40589641000000     		ar = 638776.056771255m²