Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15319 / 3518
↖ ↑ ↗
← N 71.088305°
E156.599121°		 ← 791.87 m → N 71.088305°
E156.621094°		 →
↑
792.04 m
↓
↑
792.04 m
↓
N 71.081182°
E156.599121°		 ← 792.16 m →
627 310 m²		 N 71.081182°
E156.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935028076171875 y=0.214752197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935028076171875 × 214)
    floor (0.935028076171875 × 16384)
    floor (15319.5)     		tx = 15319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214752197265625 × 214)
    floor (0.214752197265625 × 16384)
    floor (3518.5)     		ty = 3518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15319 / 3518 ti = "14/15319/3518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15319/3518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15319 ÷ 214
    15319 ÷ 16384     		x = 0.93499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3518 ÷ 214
    3518 ÷ 16384     		y = 0.2147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93499755859375 × 2 - 1) × π
    0.8699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73317027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2147216796875 × 2 - 1) × π
    0.570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79245655059314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73317027} λ = 2.73317027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79245655059314))-π/2
    2×atan(6.00418394629658)-π/2
    2×1.40576065233943-π/2
    2.81152130467886-1.57079632675     		φ = 1.24072498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73317027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24072498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.088305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15319 KachelY 3518 2.73317027 1.24072498 156.599121 71.088305
    Oben rechts KachelX + 1 15320 KachelY 3518 2.73355376 1.24072498 156.621094 71.088305
    Unten links KachelX 15319 KachelY + 1 3519 2.73317027 1.24060066 156.599121 71.081182
    Unten rechts KachelX + 1 15320 KachelY + 1 3519 2.73355376 1.24060066 156.621094 71.081182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24072498-1.24060066) × R
    0.000124320000000067 × 6371000     		dl = 792.042720000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24072498-1.24060066) × R
    0.000124320000000067 × 6371000     		dr = 792.042720000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73317027-2.73355376) × cos(1.24072498) × R
    0.000383489999999931 × 0.32411052465911 × 6371000     		do = 791.871627441654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73317027-2.73355376) × cos(1.24060066) × R
    0.000383489999999931 × 0.324228131263808 × 6371000     		du = 792.158965637655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24072498)-sin(1.24060066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32411052465911-0.324228131263808)×R²
    abs(2.73355376-2.73317027)×0.000117606604698506×R²
    0.000383489999999931×0.000117606604698506×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117606604698506×40589641000000     		ar = 627309.950561351m²