Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15319 / 3508
↖ ↑ ↗
← N 71.159391°
E156.599121°		 ← 789 m → N 71.159391°
E156.621094°		 →
↑
789.11 m
↓
↑
789.11 m
↓
N 71.152295°
E156.599121°		 ← 789.29 m →
622 725 m²		 N 71.152295°
E156.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935028076171875 y=0.214141845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935028076171875 × 214)
    floor (0.935028076171875 × 16384)
    floor (15319.5)     		tx = 15319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214141845703125 × 214)
    floor (0.214141845703125 × 16384)
    floor (3508.5)     		ty = 3508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15319 / 3508 ti = "14/15319/3508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15319/3508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15319 ÷ 214
    15319 ÷ 16384     		x = 0.93499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3508 ÷ 214
    3508 ÷ 16384     		y = 0.214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93499755859375 × 2 - 1) × π
    0.8699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73317027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214111328125 × 2 - 1) × π
    0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73317027} λ = 2.73317027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79629150256274))-π/2
    2×atan(6.02725391117705)-π/2
    2×1.40638100035856-π/2
    2.81276200071712-1.57079632675     		φ = 1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73317027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15319 KachelY 3508 2.73317027 1.24196567 156.599121 71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 15320 KachelY 3508 2.73355376 1.24196567 156.621094 71.159391
    Unten links KachelX 15319 KachelY + 1 3509 2.73317027 1.24184181 156.599121 71.152295
    Unten rechts KachelX + 1 15320 KachelY + 1 3509 2.73355376 1.24184181 156.621094 71.152295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24196567-1.24184181) × R
    0.000123859999999976 × 6371000     		dl = 789.112059999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24196567-1.24184181) × R
    0.000123859999999976 × 6371000     		dr = 789.112059999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73317027-2.73355376) × cos(1.24196567) × R
    0.000383489999999931 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 789.003376981356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73317027-2.73355376) × cos(1.24184181) × R
    0.000383489999999931 × 0.323053780098383 × 6371000     		du = 789.289773501636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24196567)-sin(1.24184181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.323053780098383)×R²
    abs(2.73355376-2.73317027)×0.000117221179837312×R²
    0.000383489999999931×0.000117221179837312×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117221179837312×40589641000000     		ar = 622725.080427254m²