Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15319 / 21362
↖ ↑ ↗
← N 76.277819°
W137.925110°		 ← 72.45 m → N 76.277819°
W137.922363°		 →
↑
72.44 m
↓
↑
72.44 m
↓
N 76.277168°
W137.925110°		 ← 72.45 m →
5 248 m²		 N 76.277168°
W137.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116878509521484 y=0.162982940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116878509521484 × 217)
    floor (0.116878509521484 × 131072)
    floor (15319.5)     		tx = 15319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162982940673828 × 217)
    floor (0.162982940673828 × 131072)
    floor (21362.5)     		ty = 21362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15319 / 21362 ti = "17/15319/21362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15319/21362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15319 ÷ 217
    15319 ÷ 131072     		x = 0.116874694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21362 ÷ 217
    21362 ÷ 131072     		y = 0.162979125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116874694824219 × 2 - 1) × π
    -0.766250610351562 × 3.1415926535     		Λ = -2.40724729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162979125976562 × 2 - 1) × π
    0.674041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11756460381636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40724729} λ = -2.40724729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11756460381636))-π/2
    2×atan(8.31087255383229)-π/2
    2×1.45104770747897-π/2
    2.90209541495793-1.57079632675     		φ = 1.33129909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40724729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.925110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33129909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.277819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15319 KachelY 21362 -2.40724729 1.33129909 -137.925110 76.277819
    Oben rechts KachelX + 1 15320 KachelY 21362 -2.40719935 1.33129909 -137.922363 76.277819
    Unten links KachelX 15319 KachelY + 1 21363 -2.40724729 1.33128772 -137.925110 76.277168
    Unten rechts KachelX + 1 15320 KachelY + 1 21363 -2.40719935 1.33128772 -137.922363 76.277168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33129909-1.33128772) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dl = 72.4382699997135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33129909-1.33128772) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dr = 72.4382699997135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40724729--2.40719935) × cos(1.33129909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237214243412087 × 6371000     		do = 72.4513358326294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40724729--2.40719935) × cos(1.33128772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23722528886694 × 6371000     		du = 72.4547093988513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33129909)-sin(1.33128772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237214243412087-0.23722528886694)×R²
    abs(-2.40719935--2.40724729)×1.10454548522265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10454548522265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10454548522265e-05×40589641000000     		ar = 5248.37161457942m²