Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15319 / 10243
↖ ↑ ↗
← N 55.758032°
W 11.700439°		 ← 687.40 m → N 55.758032°
W 11.689453°		 →
↑
687.43 m
↓
↑
687.43 m
↓
N 55.751850°
W 11.700439°		 ← 687.51 m →
472 580 m²		 N 55.751850°
W 11.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467514038085938 y=0.312606811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467514038085938 × 215)
    floor (0.467514038085938 × 32768)
    floor (15319.5)     		tx = 15319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312606811523438 × 215)
    floor (0.312606811523438 × 32768)
    floor (10243.5)     		ty = 10243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15319 / 10243 ti = "15/15319/10243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15319/10243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15319 ÷ 215
    15319 ÷ 32768     		x = 0.467498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10243 ÷ 215
    10243 ÷ 32768     		y = 0.312591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.06500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20421119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17752200226706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20421119} λ = -0.20421119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17752200226706))-π/2
    2×atan(3.24631985444282)-π/2
    2×1.27197878278165-π/2
    2.54395756556329-1.57079632675     		φ = 0.97316124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20421119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.700439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97316124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.758032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15319 KachelY 10243 -0.20421119 0.97316124 -11.700439 55.758032
    Oben rechts KachelX + 1 15320 KachelY 10243 -0.20401944 0.97316124 -11.689453 55.758032
    Unten links KachelX 15319 KachelY + 1 10244 -0.20421119 0.97305334 -11.700439 55.751850
    Unten rechts KachelX + 1 15320 KachelY + 1 10244 -0.20401944 0.97305334 -11.689453 55.751850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97316124-0.97305334) × R
    0.00010790000000005 × 6371000     		dl = 687.430900000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97316124-0.97305334) × R
    0.00010790000000005 × 6371000     		dr = 687.430900000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20421119--0.20401944) × cos(0.97316124) × R
    0.000191749999999991 × 0.562689049150518 × 6371000     		do = 687.403027987418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20421119--0.20401944) × cos(0.97305334) × R
    0.000191749999999991 × 0.562778243420655 × 6371000     		du = 687.511991208693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97316124)-sin(0.97305334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562689049150518-0.562778243420655)×R²
    abs(-0.20401944--0.20421119)×8.91942701374271e-05×R²
    0.000191749999999991×8.91942701374271e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.91942701374271e-05×40589641000000     		ar = 472579.534993836m²