Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15319 / 10218
↖ ↑ ↗
← N 55.912273°
W 11.700439°		 ← 684.68 m → N 55.912273°
W 11.689453°		 →
↑
684.69 m
↓
↑
684.69 m
↓
N 55.906115°
W 11.700439°		 ← 684.79 m →
468 833 m²		 N 55.906115°
W 11.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467514038085938 y=0.311843872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467514038085938 × 215)
    floor (0.467514038085938 × 32768)
    floor (15319.5)     		tx = 15319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311843872070312 × 215)
    floor (0.311843872070312 × 32768)
    floor (10218.5)     		ty = 10218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15319 / 10218 ti = "15/15319/10218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15319/10218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15319 ÷ 215
    15319 ÷ 32768     		x = 0.467498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10218 ÷ 215
    10218 ÷ 32768     		y = 0.31182861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.06500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20421119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31182861328125 × 2 - 1) × π
    0.3763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18231569222906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20421119} λ = -0.20421119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18231569222906))-π/2
    2×atan(3.26191906435874)-π/2
    2×1.27332479083963-π/2
    2.54664958167926-1.57079632675     		φ = 0.97585325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20421119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.700439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97585325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.912273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15319 KachelY 10218 -0.20421119 0.97585325 -11.700439 55.912273
    Oben rechts KachelX + 1 15320 KachelY 10218 -0.20401944 0.97585325 -11.689453 55.912273
    Unten links KachelX 15319 KachelY + 1 10219 -0.20421119 0.97574578 -11.700439 55.906115
    Unten rechts KachelX + 1 15320 KachelY + 1 10219 -0.20401944 0.97574578 -11.689453 55.906115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97585325-0.97574578) × R
    0.000107469999999998 × 6371000     		dl = 684.69136999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97585325-0.97574578) × R
    0.000107469999999998 × 6371000     		dr = 684.69136999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20421119--0.20401944) × cos(0.97585325) × R
    0.000191749999999991 × 0.56046161272382 × 6371000     		do = 684.681904221684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20421119--0.20401944) × cos(0.97574578) × R
    0.000191749999999991 × 0.560550614034997 × 6371000     		du = 684.79063171672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97585325)-sin(0.97574578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56046161272382-0.560550614034997)×R²
    abs(-0.20401944--0.20421119)×8.90013111777277e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90013111777277e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90013111777277e-05×40589641000000     		ar = 468833.013855756m²