Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15318 / 3542
↖ ↑ ↗
← N 70.916641°
E156.577148°		 ← 798.81 m → N 70.916641°
E156.599121°		 →
↑
798.92 m
↓
↑
798.92 m
↓
N 70.909456°
E156.577148°		 ← 799.10 m →
638 307 m²		 N 70.909456°
E156.599121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934967041015625 y=0.216217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934967041015625 × 214)
    floor (0.934967041015625 × 16384)
    floor (15318.5)     		tx = 15318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216217041015625 × 214)
    floor (0.216217041015625 × 16384)
    floor (3542.5)     		ty = 3542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15318 / 3542 ti = "14/15318/3542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15318/3542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15318 ÷ 214
    15318 ÷ 16384     		x = 0.9349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3542 ÷ 214
    3542 ÷ 16384     		y = 0.2161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9349365234375 × 2 - 1) × π
    0.869873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73278677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2161865234375 × 2 - 1) × π
    0.567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78325266586609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73278677} λ = 2.73278677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78325266586609))-π/2
    2×atan(5.94917566264469)-π/2
    2×1.40426260427612-π/2
    2.80852520855225-1.57079632675     		φ = 1.23772888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73278677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23772888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.916641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15318 KachelY 3542 2.73278677 1.23772888 156.577148 70.916641
    Oben rechts KachelX + 1 15319 KachelY 3542 2.73317027 1.23772888 156.599121 70.916641
    Unten links KachelX 15318 KachelY + 1 3543 2.73278677 1.23760348 156.577148 70.909456
    Unten rechts KachelX + 1 15319 KachelY + 1 3543 2.73317027 1.23760348 156.599121 70.909456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23772888-1.23760348) × R
    0.000125399999999942 × 6371000     		dl = 798.923399999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23772888-1.23760348) × R
    0.000125399999999942 × 6371000     		dr = 798.923399999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73278677-2.73317027) × cos(1.23772888) × R
    0.00038349999999987 × 0.326943433902064 × 6371000     		do = 798.813862768814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73278677-2.73317027) × cos(1.23760348) × R
    0.00038349999999987 × 0.327061939837396 × 6371000     		du = 799.103405772732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23772888)-sin(1.23760348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326943433902064-0.327061939837396)×R²
    abs(2.73317027-2.73278677)×0.000118505935331414×R²
    0.00038349999999987×0.000118505935331414×6371000²
    0.00038349999999987×0.000118505935331414×40589641000000     		ar = 638306.749387569m²