Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15317 / 19153
↖ ↑ ↗
← S 29.084976°
W 11.722412°		 ← 1 067.59 m → S 29.084976°
W 11.711426°		 →
↑
1 067.52 m
↓
↑
1 067.52 m
↓
S 29.094577°
W 11.722412°		 ← 1 067.49 m →
1 139 626 m²		 S 29.094577°
W 11.711426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467453002929688 y=0.584518432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467453002929688 × 215)
    floor (0.467453002929688 × 32768)
    floor (15317.5)     		tx = 15317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584518432617188 × 215)
    floor (0.584518432617188 × 32768)
    floor (19153.5)     		ty = 19153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15317 / 19153 ti = "15/15317/19153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15317/19153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15317 ÷ 215
    15317 ÷ 32768     		x = 0.467437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19153 ÷ 215
    19153 ÷ 32768     		y = 0.584503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.06512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20459469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.16900634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.530949100191742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20459469} λ = -0.20459469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530949100191742))-π/2
    2×atan(0.588046589610004)-π/2
    2×0.531583861345889-π/2
    1.06316772269178-1.57079632675     		φ = -0.50762860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20459469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.722412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50762860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.084976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15317 KachelY 19153 -0.20459469 -0.50762860 -11.722412 -29.084976
    Oben rechts KachelX + 1 15318 KachelY 19153 -0.20440294 -0.50762860 -11.711426 -29.084976
    Unten links KachelX 15317 KachelY + 1 19154 -0.20459469 -0.50779616 -11.722412 -29.094577
    Unten rechts KachelX + 1 15318 KachelY + 1 19154 -0.20440294 -0.50779616 -11.711426 -29.094577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50762860--0.50779616) × R
    0.000167560000000067 × 6371000     		dl = 1067.52476000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50762860--0.50779616) × R
    0.000167560000000067 × 6371000     		dr = 1067.52476000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20459469--0.20440294) × cos(-0.50762860) × R
    0.000191749999999991 × 0.873899716129198 × 6371000     		do = 1067.59019378723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20459469--0.20440294) × cos(-0.50779616) × R
    0.000191749999999991 × 0.873818251898395 × 6371000     		du = 1067.49067388541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50762860)-sin(-0.50779616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873899716129198-0.873818251898395)×R²
    abs(-0.20440294--0.20459469)×8.1464230803463e-05×R²
    0.000191749999999991×8.1464230803463e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.1464230803463e-05×40589641000000     		ar = 1139625.84808818m²