Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15315 / 3497
↖ ↑ ↗
← N 71.237289°
E156.511231°		 ← 785.86 m → N 71.237289°
E156.533203°		 →
↑
785.99 m
↓
↑
785.99 m
↓
N 71.230221°
E156.511231°		 ← 786.14 m →
617 790 m²		 N 71.230221°
E156.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934783935546875 y=0.213470458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934783935546875 × 214)
    floor (0.934783935546875 × 16384)
    floor (15315.5)     		tx = 15315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213470458984375 × 214)
    floor (0.213470458984375 × 16384)
    floor (3497.5)     		ty = 3497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15315 / 3497 ti = "14/15315/3497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15315/3497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15315 ÷ 214
    15315 ÷ 16384     		x = 0.93475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3497 ÷ 214
    3497 ÷ 16384     		y = 0.21343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93475341796875 × 2 - 1) × π
    0.8695068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.73163629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21343994140625 × 2 - 1) × π
    0.5731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80050994972931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73163629} λ = 2.73163629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80050994972931))-π/2
    2×atan(6.05273326723512)-π/2
    2×1.4070607876437-π/2
    2.8141215752874-1.57079632675     		φ = 1.24332525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73163629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24332525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.237289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15315 KachelY 3497 2.73163629 1.24332525 156.511231 71.237289
    Oben rechts KachelX + 1 15316 KachelY 3497 2.73201978 1.24332525 156.533203 71.237289
    Unten links KachelX 15315 KachelY + 1 3498 2.73163629 1.24320188 156.511231 71.230221
    Unten rechts KachelX + 1 15316 KachelY + 1 3498 2.73201978 1.24320188 156.533203 71.230221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24332525-1.24320188) × R
    0.000123370000000067 × 6371000     		dl = 785.990270000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24332525-1.24320188) × R
    0.000123370000000067 × 6371000     		dr = 785.990270000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73163629-2.73201978) × cos(1.24332525) × R
    0.000383489999999931 × 0.321649526309103 × 6371000     		do = 785.858879874753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73163629-2.73201978) × cos(1.24320188) × R
    0.000383489999999931 × 0.321766337830865 × 6371000     		du = 786.144275512363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24332525)-sin(1.24320188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321649526309103-0.321766337830865)×R²
    abs(2.73201978-2.73163629)×0.000116811521761573×R²
    0.000383489999999931×0.000116811521761573×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116811521761573×40589641000000     		ar = 617789.593056064m²