Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15315 / 3428
↖ ↑ ↗
← N 71.718882°
E156.511231°		 ← 766.39 m → N 71.718882°
E156.533203°		 →
↑
766.50 m
↓
↑
766.50 m
↓
N 71.711989°
E156.511231°		 ← 766.67 m →
587 538 m²		 N 71.711989°
E156.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934783935546875 y=0.209259033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934783935546875 × 214)
    floor (0.934783935546875 × 16384)
    floor (15315.5)     		tx = 15315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209259033203125 × 214)
    floor (0.209259033203125 × 16384)
    floor (3428.5)     		ty = 3428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15315 / 3428 ti = "14/15315/3428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15315/3428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15315 ÷ 214
    15315 ÷ 16384     		x = 0.93475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3428 ÷ 214
    3428 ÷ 16384     		y = 0.209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93475341796875 × 2 - 1) × π
    0.8695068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.73163629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209228515625 × 2 - 1) × π
    0.58154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82697111831958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73163629} λ = 2.73163629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82697111831958))-π/2
    2×atan(6.21503351980356)-π/2
    2×1.41126347935693-π/2
    2.82252695871387-1.57079632675     		φ = 1.25173063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73163629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25173063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.718882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15315 KachelY 3428 2.73163629 1.25173063 156.511231 71.718882
    Oben rechts KachelX + 1 15316 KachelY 3428 2.73201978 1.25173063 156.533203 71.718882
    Unten links KachelX 15315 KachelY + 1 3429 2.73163629 1.25161032 156.511231 71.711989
    Unten rechts KachelX + 1 15316 KachelY + 1 3429 2.73201978 1.25161032 156.533203 71.711989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25173063-1.25161032) × R
    0.000120310000000012 × 6371000     		dl = 766.495010000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25173063-1.25161032) × R
    0.000120310000000012 × 6371000     		dr = 766.495010000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73163629-2.73201978) × cos(1.25173063) × R
    0.000383489999999931 × 0.313679549755533 × 6371000     		do = 766.386515283122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73163629-2.73201978) × cos(1.25161032) × R
    0.000383489999999931 × 0.313793785307555 × 6371000     		du = 766.665617273365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25173063)-sin(1.25161032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313679549755533-0.313793785307555)×R²
    abs(2.73201978-2.73163629)×0.00011423555202178×R²
    0.000383489999999931×0.00011423555202178×6371000²
    0.000383489999999931×0.00011423555202178×40589641000000     		ar = 587538.405545434m²