Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15315 / 21365
↖ ↑ ↗
← N 76.275864°
W137.936096°		 ← 72.46 m → N 76.275864°
W137.933350°		 →
↑
72.44 m
↓
↑
72.44 m
↓
N 76.275213°
W137.936096°		 ← 72.46 m →
5 249 m²		 N 76.275213°
W137.933350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116847991943359 y=0.163005828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116847991943359 × 217)
    floor (0.116847991943359 × 131072)
    floor (15315.5)     		tx = 15315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163005828857422 × 217)
    floor (0.163005828857422 × 131072)
    floor (21365.5)     		ty = 21365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15315 / 21365 ti = "17/15315/21365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15315/21365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15315 ÷ 217
    15315 ÷ 131072     		x = 0.116844177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21365 ÷ 217
    21365 ÷ 131072     		y = 0.163002014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116844177246094 × 2 - 1) × π
    -0.766311645507812 × 3.1415926535     		Λ = -2.40743904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163002014160156 × 2 - 1) × π
    0.673995971679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.1174207931175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40743904} λ = -2.40743904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1174207931175))-π/2
    2×atan(8.30967744737879)-π/2
    2×1.45103064931424-π/2
    2.90206129862849-1.57079632675     		φ = 1.33126497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40743904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.936096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33126497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.275864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15315 KachelY 21365 -2.40743904 1.33126497 -137.936096 76.275864
    Oben rechts KachelX + 1 15316 KachelY 21365 -2.40739110 1.33126497 -137.933350 76.275864
    Unten links KachelX 15315 KachelY + 1 21366 -2.40743904 1.33125360 -137.936096 76.275213
    Unten rechts KachelX + 1 15316 KachelY + 1 21366 -2.40739110 1.33125360 -137.933350 76.275213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33126497-1.33125360) × R
    1.13700000001771e-05 × 6371000     		dl = 72.4382700011281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33126497-1.33125360) × R
    1.13700000001771e-05 × 6371000     		dr = 72.4382700011281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40743904--2.40739110) × cos(1.33126497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237247389399132 × 6371000     		do = 72.4614594702505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40743904--2.40739110) × cos(1.33125360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23725843476195 × 6371000     		du = 72.4648330083628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33126497)-sin(1.33125360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237247389399132-0.23725843476195)×R²
    abs(-2.40739110--2.40743904)×1.10453628179297e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10453628179297e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10453628179297e-05×40589641000000     		ar = 5249.10495228674m²