Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15315 / 10319
↖ ↑ ↗
← N 55.285373°
W 11.744385°		 ← 695.67 m → N 55.285373°
W 11.733399°		 →
↑
695.78 m
↓
↑
695.78 m
↓
N 55.279115°
W 11.744385°		 ← 695.78 m →
484 072 m²		 N 55.279115°
W 11.733399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467391967773438 y=0.314926147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467391967773438 × 215)
    floor (0.467391967773438 × 32768)
    floor (15315.5)     		tx = 15315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314926147460938 × 215)
    floor (0.314926147460938 × 32768)
    floor (10319.5)     		ty = 10319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15315 / 10319 ti = "15/15315/10319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15315/10319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15315 ÷ 215
    15315 ÷ 32768     		x = 0.467376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10319 ÷ 215
    10319 ÷ 32768     		y = 0.314910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.06524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20497818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314910888671875 × 2 - 1) × π
    0.37017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16294918478256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20497818} λ = -0.20497818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16294918478256))-π/2
    2×atan(3.19935486496589)-π/2
    2×1.26785405152081-π/2
    2.53570810304162-1.57079632675     		φ = 0.96491178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20497818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.744385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96491178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.285373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15315 KachelY 10319 -0.20497818 0.96491178 -11.744385 55.285373
    Oben rechts KachelX + 1 15316 KachelY 10319 -0.20478644 0.96491178 -11.733399 55.285373
    Unten links KachelX 15315 KachelY + 1 10320 -0.20497818 0.96480257 -11.744385 55.279115
    Unten rechts KachelX + 1 15316 KachelY + 1 10320 -0.20478644 0.96480257 -11.733399 55.279115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96491178-0.96480257) × R
    0.000109209999999971 × 6371000     		dl = 695.776909999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96491178-0.96480257) × R
    0.000109209999999971 × 6371000     		dr = 695.776909999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20497818--0.20478644) × cos(0.96491178) × R
    0.000191740000000024 × 0.569489395252023 × 6371000     		do = 695.674315529348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20497818--0.20478644) × cos(0.96480257) × R
    0.000191740000000024 × 0.569579162331506 × 6371000     		du = 695.783972797942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96491178)-sin(0.96480257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569489395252023-0.569579162331506)×R²
    abs(-0.20478644--0.20497818)×8.97670794829386e-05×R²
    0.000191740000000024×8.97670794829386e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.97670794829386e-05×40589641000000     		ar = 484072.274604213m²